Una escalera de 10 m se apoya en un edificio y su pie queda a 1,5 m del edificio. a) ¿Qué altura alcanza? b) ¿Qué altura alcanzaría si formara un ángulo de 45^ con el suelo? c) Escribe una fórmula para la altura en función de la separación.

h≈9,89 m; h=52≈7,07 m; h(x)=100-x^2

Resuelve los problemas de la montaña, la pantalla de televisión, la Virgen del Panecillo, el rectángulo, el poste, el cuadrado inscrito en un círculo y la cometa.

a) 190,79 m; b) 36,02 cm; c) 91,21 m; d) 130 cm y 49,99 cm; e) 11,40 m; f) s(r)=r2, s(20)≈28,28 m; g) 159,69 m

Resuelve los problemas del pájaro, la torre Morisca y la cometa.

a) 4,90 m; b) 32,73 m; c) 33,54 m

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución de problemas con el teorema de Pitágoras

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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6a) $9,89\ \text{m}$ ; 6b) $7,07\ \text{m}$ ; 6c) $h(x)=\sqrt{100-x^2}$ .

7a) $190,79\ \text{m}$ ; 7b) $36,02\ \text{cm}$ ; 7c) $91,21\ \text{m}$ ; 7d) $130\ \text{cm}$ y aproximadamente $50\ \text{cm}$ ; 7e) $11,40\ \text{m}$ ; 7f) $s(r)=r\sqrt{2}$ y, para $r=20\ \text{m}$ , $28,28\ \text{m}$ ; 7g) $159,69\ \text{m}$ .

8a) $4,90\ \text{m}$ ; 8b) $32,73\ \text{m}$ ; 8c) $33,54\ \text{m}$ ; 9) $2877,07\ \text{km}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 119

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Estrategia general

En todos los problemas se identifica un triángulo rectángulo y se aplica el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

Cuando se busca un cateto, se despeja:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

Ejercicio 6

La escalera representa la hipotenusa de longitud $10\ \text{m}$ y la separación del edificio es un cateto.

Para una separación de $1,5\ \text{m}$ :

$h=\sqrt{10^2-1,5^2}=\sqrt{97,75}\approx 9,89\ \text{m}$

Si la escalera forma un ángulo de $45^\circ$ con el suelo:

$h=10\sin 45^\circ=10\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=5\sqrt{2}\approx 7,07\ \text{m}$

Si $x$ es la separación del pie de la escalera y $L$ su longitud, la altura es:

$h(x)=\sqrt{L^2-x^2}$

Para esta escalera, $L=10$ y queda $h(x)=\sqrt{100-x^2}$ .

Ejercicio 7

Se resuelven todos los casos identificando la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo.

Ejercicio a

** La cinta de $200\ \text{m}$ es la hipotenusa y la distancia horizontal es $60\ \text{m}$:

$h=\sqrt{200^2-60^2}=\sqrt{36400}=20\sqrt{91}\approx 190,79\ \text{m}$

Ejercicio b

** Primero se convierte la diagonal del televisor:

$40\ \text{pulgadas}\times 2,54\ \frac{\text{cm}}{\text{pulgada}}=101,6\ \text{cm}$

La base mide $95\ \text{cm}$ :

$h=\sqrt{101,6^2-95^2}=\sqrt{1297,56}\approx 36,02\ \text{cm}$

Ejercicio c

** La altura de la estatua es $41\ \text{m}$ y la distancia hasta la persona es la hipotenusa de $100\ \text{m}$:

$d=\sqrt{100^2-41^2}=\sqrt{8319}\approx 91,21\ \text{m}$

Ejercicio d

** El otro lado del rectángulo es:

$b=\sqrt{139,28^2-130^2}=\sqrt{2498,9184}\approx 49,99\ \text{cm}$

Por lo tanto, los lados miden aproximadamente $130\ \text{cm}$ y $50\ \text{cm}$ .

Ejercicio e

** El cable es la hipotenusa:

$c=\sqrt{11^2+3^2}=\sqrt{130}\approx 11,40\ \text{m}$

Ejercicio f

** En un cuadrado inscrito en un círculo, la diagonal del cuadrado es el diámetro del círculo. Si el radio es $r$, entonces la diagonal es $2r$:

$s\sqrt{2}=2r$

Por tanto, la longitud máxima del lado del cuadrado es:

$s(r)=\frac{2r}{\sqrt{2}}=r\sqrt{2}$

Para $r=20\ \text{m}$ :

$s=20\sqrt{2}\approx 28,28\ \text{m}$

Ejercicio g

** El hilo de $160\ \text{m}$ es la hipotenusa y la distancia horizontal es $10\ \text{m}$:

$h=\sqrt{160^2-10^2}=\sqrt{25500}=50\sqrt{102}\approx 159,69\ \text{m}$

Ejercicio a

** La distancia visual al pájaro es $7\ \text{m}$ y la distancia horizontal es $5\ \text{m}$:

$h=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx 4,90\ \text{m}$

Ejercicio b

** La torre mide $23\ \text{m}$ y la distancia desde la parte superior hasta la persona es $40\ \text{m}$:

$d=\sqrt{40^2-23^2}=\sqrt{1071}=3\sqrt{119}\approx 32,73\ \text{m}$

Ejercicio c

** La piola mide $35\ \text{m}$ y la distancia horizontal es $10\ \text{m}$:

$h=\sqrt{35^2-10^2}=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}\approx 33,54\ \text{m}$

Ejercicio 9

Las rutas de los aviones forman los catetos de un triángulo rectángulo y la distancia entre ellos es la hipotenusa. Si un avión recorrió $850\ \text{km}$ y la separación es de $3000\ \text{km}$ :

$n=\sqrt{3000^2-850^2}=\sqrt{8277500}=50\sqrt{3311}\approx 2877,07\ \text{km}$

Contenido de la página

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

$a^2+b^2=c^2$

Para encontrar un cateto se utiliza:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

La página aplica esta relación a situaciones reales como escaleras apoyadas en edificios, alturas de montañas y torres, diagonales de pantallas, cables, cometas y desplazamientos de aviones. También se obtiene la función del lado máximo de un cuadrado inscrito en un círculo: $s(r)=r\sqrt{2}$ .

Ejemplos resueltos

Una escalera de $10\ \text{m}$ se separa $1,5\ \text{m}$ de una pared. ¿Qué altura alcanza?

$h=\sqrt{10^2-1,5^2}=\sqrt{97,75}\approx 9,89\ \text{m}$

Fórmulas y ecuaciones

$h=\sqrt{\text{hipotenusa}^2-\text{cateto conocido}^2}$

$s=r\sqrt{2}$

$h=10\sin45^\circ$

$a^2+b^2=c^2$

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

$h=\sqrt{L^2-x^2}$

$s(r)=r\sqrt{2}$

Glosario (5)

Hipotenusa: Lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo; se encuentra frente al ángulo recto.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura.
Radio: Segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de ella.
Función: Regla que relaciona una cantidad variable con otra.

Preguntas para practicar

¿Por qué la diagonal de un cuadrado inscrito en un círculo coincide con el diámetro?

¿Qué ocurre con la altura de una escalera si aumenta su separación de la pared?

¿En qué situaciones cotidianas se puede usar el teorema de Pitágoras?

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasCálculo de alturas y distanciasCuadrado inscrito en una circunferenciaAplicaciones geométricas$a^2+b^2=c^2$HipotenusaCatetosDespeje de un catetoDiagonal de un cuadradoFunción de la longitud máxima

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras para hallar una altura?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo encontrar un cateto cuando se conoce la hipotenusa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula del lado de un cuadrado inscrito en un círculo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
• Aplicar raíces cuadradas
• Operar con unidades de longitud
• Conocer las razones seno y coseno de ángulos notables

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Aplicación de razones trigonométricas para calcular lados y ángulos

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Resuelve el siguiente problema.

Una escalera de 10 m de longitud es apoyada en el frente de un edificio, ubicando su pie a metro y medio del edificio.

¿Qué altura alcanzará la escalera?

b) Sila escalera se colocase formando un ángu-

lo de 45° con el suelo, ¿qué altura alcanzaría?

Escribe una fórmula para determinar la altu- ra alcanzada en función de la separación del pie de la escalera con respecto al edificio.

Resuelve los siguientes problemas.

Un grupo de ingenieros desean conocer la altura de una montaña. Para esto utilizan una cinta de 200 metros que colocan desde la cima de la montaña y la extienden totalmente hasta que toca el suelo a 60 metros del punto A, ubicado justamente debajo de la cima. ¿Cuál es la altura de la montaña?

El tamaño de las pantallas de televisión viene dado por la longitud en pulgadas de la diagonal de la pantalla. Si un televisor mide 40 pulgadas y tiene 95 cm de base, ¿cuál será su altura?

Recuerda que una pulgada tiene 2,54 cm.

La altura de la Virgen del Panecillo es de E

41 metros. Si la distancia desde la punta de la Virgen a una persona es de 100 metros, ¿a qué distancia está la persona de la base de la estatua?

Las diagonales de un rectángulo miden aproximadamente 139,28 cm. Se conoce que uno de sus lados mide 130 cm. ¿Qué longitud tienen sus lados?

Un poste de 11 m de altura será anclado con la ayuda de un cable desde su extremo

superior hasta una base ubicada a 3 m de él.

¿Cuál es la longitud del cable de anclaje?

Un arquitecto debe construir una base cuadrada para un monumento en un espacio circular de radio r=20 m.

Confecciona en tu cuaderno un gráfico que describa el problema.

Crea una función matemática que describa la longitud máxima del cuadrado a partir del radio del espacio circular.

g) Un niño pequeño vuela su cometa con la

ayuda de un carrete de hilo de 160 m. Ya no le queda hilo en el carrete y quiere saber a qué altura se encuentra su cometa.

Su hermanito que está a 10 m de él; dice justo en ese instante: “tu cometa está muy alto, justo sobre mí”.

Elabora en tu cuaderno un esquema que describa el problema.

Determina la altura a la que se encuentra el cometa.

E Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan.

a) Un niño observa un pájaro a lo lejos a una distancia de 7 metros. Si el niño se encuen- tra a 5 metros de la sombra proyectada perpendicularmente del pájaro, ¿a qué altu- ra se encuentra el pájaro del suelo?

b) La altura de la torre Morisca ubicada en Guayaquil es de 23 metros. Si la distancia desde lo alto de la torre a una persona que está tomando una foto es 40 metros, ¿a qué distancia esta la persona de la base de la torre?

e) Un niño eleva una cometa. La longitud de la piola que ha soltado mide 35 metros y la distancia horizontal de los pies del niño al punto que está debajo de la cometa es de 10 metros. ¿A qué altura se encuentra la cometa?

E Actividad indagatoria

Indaga y resuelve.

Dos aviones salen del Aeropuerto Internacional José Joaquín de Olmedo. Uno se dirige hacia el norte y otro, hacia el este. Cuando se encuentran a 3 000 km uno del otro, uno de ellos ha recorrido 850 km. ¿Qué distancia ha recorrido el avión que se dirige hacia el norte?

Shutterstock, 466914947

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