Ejercicio 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español
Respuesta rápida
• Una recta se grafica ubicando dos o más puntos que satisfacen su ecuación y uniéndolos.
• Sistema de vehículos: \left\{\begin{aligned}x+y&=10\\2x+4y&=32\end{aligned}\right.
• Solución del sistema de vehículos: (4,6), es decir, 4 bicicletas y 6 automóviles.
• Solución del ejemplo: (4,1); los números son 4 y 1.
• Otra aplicación: determinar precios desconocidos en compras.
📚 theory Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura
Solución — Página 140
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Ejercicio 1
¿Cómo se puede graficar la ecuación de una recta?
Para graficar una recta se puede:
- Despejar una variable, generalmente y, para obtener una expresión como y=mx+b.
- Identificar la pendiente m y el punto de corte con el eje y, que es (0,b).
- Ubicar ese punto en el plano cartesiano.
- Usar la pendiente para encontrar otro punto de la recta.
- Unir los puntos con una línea recta.
También se pueden encontrar dos o más pares ordenados que satisfagan la ecuación, ubicarlos en el plano y unirlos.
Ejercicio 2
Situación de las bicicletas y los automóviles
Sea x el número de bicicletas y y el número de automóviles.
- Como hay 10 vehículos en total: x+y=10.
- Cada bicicleta tiene 2 ruedas y cada automóvil tiene 4 ruedas. Como hay 32 ruedas: 2x+4y=32.
Por tanto, el sistema es:
\left\{\begin{aligned} x+y&=10\\ 2x+4y&=32 \end{aligned}\right.
Se verifica el par (2,6):
- 2+6=8\ne10.
- 2(2)+4(6)=4+24=28\ne32.
Por lo tanto, (2,6) no es solución.
Se verifica el par (4,6):
- 4+6=10.
- 2(4)+4(6)=8+24=32.
Por lo tanto, (4,6) sí es solución del sistema. Esto significa que hay 4 bicicletas y 6 automóviles.
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Ejercicio 3
Ejemplo de dos números
Sea x el primer número y y el segundo número.
La información se traduce así:
- La suma de los números es 5: x+y=5.
- El doble del primero más el segundo es 9: 2x+y=9.
El sistema es:
\left\{\begin{aligned} x+y&=5\\ 2x+y&=9 \end{aligned}\right.
Se prueba la pareja (3,2):
- 3+2=5.
- 2(3)+2=8\ne9.
No satisface el sistema.
Se prueba la pareja (4,1):
- 4+1=5.
- 2(4)+1=9.
Por lo tanto, la solución es (4,1): los números son 4 y 1.
Ejercicio 4
Aplicación adicional
Otra aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales es calcular precios desconocidos. Por ejemplo, se pueden determinar los precios de dos productos cuando se conocen el costo de dos compras diferentes.
Contenido de la página
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben verificarse simultáneamente.
Planteamiento de un problema
En un estacionamiento hay 10 vehículos entre bicicletas y automóviles, con un total de 32 ruedas. Si x representa las bicicletas y y los automóviles, el sistema es:
\left\{\begin{aligned} x+y&=10\\ 2x+4y&=32 \end{aligned}\right.
Solución de un sistema
La solución es un par ordenado que satisface todas las ecuaciones. El par (4,6) cumple ambas ecuaciones, mientras que (2,6) no las cumple.
Ejemplo
Para dos números cuya suma es 5 y cuyo doble del primero más el segundo es 9, se plantea:
\left\{\begin{aligned} x+y&=5\\ 2x+y&=9 \end{aligned}\right.
La solución es (4,1).
Aplicación
Los sistemas lineales se utilizan en el balanceo de reacciones químicas y en situaciones de costos, cantidades, edades, distancias y mezclas.
Ejemplos resueltos
En un estacionamiento hay 10 vehículos entre bicicletas y automóviles y 32 ruedas en total. ¿Cuántas bicicletas y automóviles hay?
Si x son las bicicletas y y los automóviles, se plantea x+y=10 y 2x+4y=32. El par (4,6) verifica ambas ecuaciones: 4+6=10 y 2(4)+4(6)=32. Hay 4 bicicletas y 6 automóviles.
La suma de dos números es 5 y el doble del primero más el segundo es 9. ¿Cuáles son los números?
El sistema es x+y=5 y 2x+y=9. La pareja (4,1) cumple: 4+1=5 y 2(4)+1=9. Los números son 4 y 1.
Fórmulas y ecuaciones
Sistema de vehículos: \left\{\begin{aligned}x+y&=10\\2x+4y&=32\end{aligned}\right.
Sistema del ejemplo: \left\{\begin{aligned}x+y&=5\\2x+y&=9\end{aligned}\right.
x+y=10
2x+4y=32
x+y=5
2x+y=9
Glosario (5)
- Sistema de ecuaciones lineales
- Conjunto de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse al mismo tiempo.
- Incógnita
- Cantidad desconocida que se representa mediante una letra.
- Par ordenado
- Pareja de valores escrita como $(x,y)$ que puede representar una solución.
- Solución
- Valor o conjunto de valores que satisface simultáneamente todas las ecuaciones.
- Recta
- Línea cuyos puntos pueden representar las soluciones de una ecuación lineal.
Preguntas para practicar
¿Qué significa que un par ordenado sea solución de un sistema?
¿Por qué una solución debe satisfacer todas las ecuaciones del sistema?
¿Qué otras situaciones cotidianas pueden representarse mediante sistemas lineales?
Temas y conceptos clave
Concepto de sistema de ecuaciones linealesPlanteamiento de sistemas a partir de problemasVerificación de solucionesGráfica de una rectaAplicaciones de los sistemas linealesSistema de ecuaciones linealesEcuaciones de primer gradoIncógnitaPar ordenadoSolución comúnPendienteIntersección de rectas
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Preguntas que la gente también hace
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
¿Cómo se verifica si un par ordenado es solución de un sistema?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
¿Cómo se grafica un sistema de dos ecuaciones lineales?
Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.
📌 Antes de leer esto
- • Reconocer variables e incógnitas
- • Resolver ecuaciones de primer grado
- • Ubicar puntos en el plano cartesiano
- • Realizar operaciones con números enteros
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Métodos de sustitución, igualación, reducción y método gráfico
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Matematica y Quimica Una de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales es en el balanceo de reacciones quimicas, que consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química, cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve. oO on, ae 1 ondo = Of Yeso
Bf, «yo > BF Com MH" (ey Y
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- Oh-em cy (S) YO y
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Escribe otra de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
x: representa el numero de bicicletas
Sistemas de ecuaciones lineales
/. Desequilibrio cognitivo
Describe. ¿Cómo puedes graficar la ecuación de una recta?
Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal es un conjunto de ecua- ciones de primer grado que deben verificarse simultáneamente.
y
En el estacionamiento de un colegio, en total, hay 10 vehículos entre bicicletas y automóviles. El total de ruedas que se contabilizaron es de 32. ¿Cómo escribes esta información con ecuaciones?
Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático:
y: representa el número de automóviles
Total de vehículos 10 x+y=10 — Total de ruedas 32 2x + 4y = 32
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
- Analizamos el sistema de ecuaciones planteado para el problema. Este sistema consta de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x+y=10 2x + 4y = 32
« Verificamos si el par ordenado (2, 6) es solución del sistema. Para ello, sustituimos estos valores en cada ecuación del sistema:
2+6%10 y 2:2+4:6% 28; (2, 6) no es solución del sistema.
- Buscamos otro par ordenado (4, 6) y verificamos.
4+6=10 y 2-4+4-6=32; (4, 6) sí es solución del sistema porque satisface a todas las ecuaciones.
| Hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en encon-
| trar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.
Na
Ejemplo
- La suma de dos números es 5, el doble del primero más el segundo es igual a 9.
¿Cuáles son los números? Planteamos el sistema de ecuaciones. ; X+y=5 2x+y=9 Probamos con varias parejas de números:
(3,2) >3+2=5 y 2:3+2%9,no satisface el sistema.
(41)> 4+1=5 y 2:4+1=09; sí satisface el sistema.
M.4.1.54, Reconocer la intersección de dos rectas como la solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
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