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Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de igualación

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La solución del sistema es $x=5$ y $y=7$ . Compraron 5 pares de zapatos y 7 pantalones cada uno.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 144

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución del ejemplo

Se definen las variables:

$x$ : número de pares de zapatos.
$y$ : número de pantalones.

A partir de los costos se forma el sistema:

$\begin{cases} 30x+15y=255\\ 45x+25y=400 \end{cases}$

Dividimos la primera ecuación para $5$ y la segunda para $5$ :

$\begin{cases} 6x+3y=51\\ 9x+5y=80 \end{cases}$

Método de igualación

Ejercicio 1

Despejar la misma variable en las dos ecuaciones.** Despejamos $x$:

$x=\frac{51-3y}{6}$

$x=\frac{80-5y}{9}$

Ejercicio 2

Igualar las expresiones de $x$.

$\frac{51-3y}{6}=\frac{80-5y}{9}$

Aplicamos producto cruzado:

$9(51-3y)=6(80-5y)$

Ejercicio 3

Resolver para $y$.

$459-27y=480-30y$

$3y=21$

$y=7$

Ejercicio 4

Sustituir $y=7$ para hallar $x$.

$6x+3(7)=51$

$6x+21=51$

$6x=30$

$x=5$

Por lo tanto, Antonio y Joaquín compraron $5$ pares de zapatos y $7$ pantalones cada uno.

Comprobación

Primera ecuación:

$30(5)+15(7)=150+105=255$

Segunda ecuación:

$45(5)+25(7)=225+175=400$

Los valores satisfacen ambas ecuaciones.

Contenido de la página

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones permite encontrar los valores de dos variables que cumplen simultáneamente dos ecuaciones.

En el ejemplo, $x$ representa los pares de zapatos y $y$ representa los pantalones. Los datos originan el sistema:

$\begin{cases} 30x+15y=255\\ 45x+25y=400 \end{cases}$

Para aplicar el método de igualación:

Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas.
Se resuelve la ecuación resultante.
Se sustituye el valor encontrado para obtener la otra variable.
Se comprueba la solución en las ecuaciones originales.

La solución del ejemplo es $x=5$ y $y=7$ .

Ejemplos resueltos

Antonio y Joaquín compraron igual cantidad de pares de zapatos y pantalones. Antonio pagó $255 con precios de$ 30 por cada par de zapatos y $15 por cada pantalón. Joaquín pagó$ 400 con precios de $45 por cada par de zapatos y$ 25 por cada pantalón. ¿Cuántos compraron?

Se plantea $30x+15y=255$ y $45x+25y=400$ . Al simplificar se obtiene $6x+3y=51$ y $9x+5y=80$ . Despejando e igualando $x$ , se encuentra $y=7$ . Luego, sustituyendo: $6x+3(7)=51$ , de donde $x=5$ . La respuesta es 5 pares de zapatos y 7 pantalones.

Tabla

Persona	Zapatos	Pantalones	Costo
Antonio	$30x$	$15y$	$255$
Joaquín	$45x$	$25y$	$400$

Fórmulas y ecuaciones

Si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , entonces $ad=bc$ .

En el método de igualación se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan los resultados.

$\begin{cases}30x+15y=255\\45x+25y=400\end{cases}$

$\begin{cases}6x+3y=51\\9x+5y=80\end{cases}$

x= $\frac{51-3y}{6}$

x= $\frac{80-5y}{9}$

$\frac{51-3y}{6}$ = $\frac{80-5y}{9}$

9(51-3y)=6(80-5y)

459-27y=480-30y

y=7

x=5

Glosario (5)

Sistema de ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
Incógnita: Cantidad desconocida que se representa generalmente con una letra.
Método de igualación: Procedimiento que consiste en despejar la misma variable en dos ecuaciones y luego igualar las expresiones.
Producto cruzado: Multiplicación de los términos situados en extremos opuestos de dos fracciones iguales.
Sustitución: Reemplazo de una variable por el valor que se ha encontrado.

Preguntas para practicar

¿Qué significa que dos ecuaciones formen un sistema?

¿Por qué es necesario despejar la misma variable en ambas ecuaciones?

¿Cómo se puede verificar que una solución es correcta?

Temas y conceptos clave

Sistemas de ecuaciones linealesMétodo de igualaciónModelación de situaciones cotidianasIncógnitasSistema de ecuacionesDespejeIgualaciónProducto cruzadoSustituciónComprobación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por igualación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué pasos se siguen para despejar una variable en un sistema?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se comprueba la solución de un sistema de ecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales de primer grado
• Despejar una variable
• Operar con números enteros
• Sustituir valores en expresiones algebraicas

Siguiente tema sugerido

Resolución de sistemas de ecuaciones mediante eliminación gaussiana

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E 8 El 5 5 5

R ¿Sabías que?

El método de igualación sirve para resolver cualquier tipo de sistemas.

Sinimportarlas | diferencias o similitudes — | que podamos tener

unos con otros, es "fundamental facilitarla inclusion social y evitar el aislamiento.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de igualación

Reflexiona. ¿Qué es para ti un sistema?

Antonio y Joaquín realizan sus compras navideñas en diferentes almacenes. Compraron igual número de zapatos y pantalones en cada almacén. En el almacén Frut, Antonio pagó por cada par de zapatos $30 y por cada pantalón,$ 15. En total canceló $ 255. En el almacén Pat, Joaquín compró cada par de zapatos en $45 y cada pantalón en$ 25. En total canceló $ 400. ¿Cuántos pares de zapatos y pantalones compró cada uno?

Identificamos las variables del problema: x: zapatos y: pantalones

Organizamos los datos en una tabla, tenemos:

Personas Zapatos (x) Pantalones (y)

Antonio 30x 15y Joaquín 45x 25y $ 400

30x+15y =255

El sistema de ecuaciones formado es: { 45x+25y = 400

6x+3y=51 9x+5y =80 Para resolver el sistema de ecuaciones por igualación, se procede así:

El sistema equivalente es: |

Primero, se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.

ESIESy 6

ye OY 9

En este caso, hemos despejado la variable x. Segundo, se igualan las dos ecuaciones y se realiza el producto cruzado. 51-3y 80-5y 6 9 9(51-3y) = 6(80-5y) Tercero, se multiplica y se despeja y. 459 - 27y = 480 - 30y; 3y=21; y=7 Cuarto, se reemplaza el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema y se obtiene la otra variable. 6x + 3(7) = 51; 6x = 30;x=5 Solución

Antonio y Joaquín compraron 5 pares de zapatos y 7 pantalones.

M.4.1.55. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera algebraica, utilizando los métodos de igualación y de eliminación gaussiana.

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