Evaluación formativa: sistemas de ecuaciones lineales

Resolución

Se reemplazan las coordenadas de cada punto en las dos ecuaciones del sistema.

• a) Para (1,2): 2(1)+3(2)=2+6=8 y 1-2=-1. El punto sí cumple ambas ecuaciones.
• b) Para (-3,4): -3-2(4)=-11\neq 4 y 6(-3)-4=-22\neq 1. El punto no cumple el sistema.
• c) Para (5,13): 5+13=18 y 5-13=-8. El punto sí cumple ambas ecuaciones.
• d) Para (4,0): 4+0=4 y 3(4)+5(0)=12. El punto sí cumple ambas ecuaciones.

• a) Verdadero. Dos rectas que se cortan en un solo punto representan un sistema con solución única.
• b) Falso. Las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocas opuestas, no iguales.
• c) Verdadero para rectas paralelas distintas: no se cortan y, por tanto, el sistema no tiene solución.
• d) Verdadero, siempre que la proporcionalidad incluya todos los coeficientes y el término independiente; así las rectas son coincidentes.
• e) Falso. Si las ecuaciones son coincidentes, tienen infinitas soluciones.

a) La recta azul pasa por (0,3) y (1,2), por lo que es y=-x+3. La recta anaranjada pasa por (1,0) y (4,3), por lo que es y=x-1. Al igualarlas:

-x+3=x-1 2x=4\Rightarrow x=2,\qquad y=1

Sistema: \left\{\begin{aligned}y&=-x+3\\y&=x-1\end{aligned}\right.. Solución: (2,1).

b) La recta azul pasa por (-1,1) y (0,0), por lo que es y=-x. La recta anaranjada pasa por (-1,4) y (3,2), por lo que es y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}. Igualando:

-x=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} -\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}\Rightarrow x=-7,\qquad y=7

Sistema: \left\{\begin{aligned}y&=-x\\y&=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{aligned}\right.. Solución: (-7,7).

c) La recta azul pasa por (1,4) y (4,1), de modo que y=-x+5. La recta anaranjada pasa por (-2,2) y (6,4), de modo que y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}. Igualando:

-x+5=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2} \frac{5}{4}x=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2,\qquad y=3

Sistema: \left\{\begin{aligned}y&=-x+5\\y&=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\end{aligned}\right.. Solución: (2,3).

Se proponen dos ecuaciones distintas que se cumplen en cada punto.

• Para (-2,1):

  • Sistema 1: \left\{\begin{aligned}x+y&=-1\\x-y&=-3\end{aligned}\right.
  • Sistema 2: \left\{\begin{aligned}2x+y&=-3\\x+2y&=0\end{aligned}\right.

• Para (3,-2):

  • Sistema 1: \left\{\begin{aligned}x+y&=1\\2x-y&=8\end{aligned}\right.
  • Sistema 2: \left\{\begin{aligned}x-y&=5\\3x+y&=7\end{aligned}\right.

• Para (0,5;-1), es decir, (0,5,-1) según la notación de la página:

  • Sistema 1: \left\{\begin{aligned}x+y&=-\frac{1}{2}\\2x-y&=2\end{aligned}\right.
  • Sistema 2: \left\{\begin{aligned}2x+2y&=-1\\x-2y&=\frac{5}{2}\end{aligned}\right.

• Para (0,4):

  • Sistema 1: \left\{\begin{aligned}x+y&=4\\x-y&=-4\end{aligned}\right.
  • Sistema 2: \left\{\begin{aligned}2x+y&=4\\3x-y&=-4\end{aligned}\right.

a) Restando la segunda ecuación de la primera:

2x=-2\Rightarrow x=-1 3(-1)+2y=-1\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1

b) Como x=2 y y-3x=0, entonces y=3(2)=6. Solución: (2,6).

c) Las ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo, pero distintos términos independientes: -2\neq 4. Son rectas paralelas distintas. No existe solución.

d) La segunda ecuación es el doble de la primera: -6x+4y=2(-3x+2y). Las rectas son coincidentes y existen infinitas soluciones. El conjunto solución es \{(x,y): -3x+2y=5\}.

e) Restando la primera ecuación de la segunda:

x=-6 -6+y=4\Rightarrow y=10

Solución: (-6,10).

f) De 3x+y=6 se obtiene y=6-3x. Sustituyendo:

x-3(6-3x)=-1 10x=17\Rightarrow x=\frac{17}{10} y=6-3\left(\frac{17}{10}\right)=\frac{9}{10}

Solución: \left(\frac{17}{10},\frac{9}{10}\right).