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Solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La solución es $x=1$ y $y=2$ . Cada pan cuesta $\$ 1 $y cada queso cuesta$ $2$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 141

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Resolución del ejemplo

Sea $x$ el precio de un pan y $y$ el precio de un queso.

Del problema se obtiene el sistema:

$\left\{ \begin{aligned} 5x+y&=7\\ 2x+3y&=8 \end{aligned} \right.$

Primera recta: $5x+y=7$

Si $x=0$ , entonces $y=7$ , por lo que se obtiene el punto $(0,7)$ .
Si $y=0$ , entonces $5x=7$ , de donde $x=\frac{7}{5}$ , por lo que se obtiene el punto $\left(\frac{7}{5},0\right)$ .

La primera recta pasa por $(0,7)$ y $\left(\frac{7}{5},0\right)$ .

Segunda recta: $2x+3y=8$

Si $x=0$ , entonces $3y=8$ , de donde $y=\frac{8}{3}$ , por lo que se obtiene el punto $\left(0,\frac{8}{3}\right)$ .
Si $y=0$ , entonces $2x=8$ , de donde $x=4$ , por lo que se obtiene el punto $(4,0)$ .

La segunda recta pasa por $\left(0,\frac{8}{3}\right)$ y $(4,0)$ .

Al graficar ambas rectas, estas se cortan en el punto $(1,2)$ . Por tanto, la solución del sistema es $x=1$ y $y=2$ .

Verificación:

$5(1)+2=7$

$2(1)+3(2)=8$

Por lo tanto, cada pan cuesta $\$ 1 $y cada queso cuesta$ $2$ .

Clasificación de sistemas

Sistema compatible determinado: las rectas son secantes, se cortan en un solo punto y existe una única solución.
Sistema compatible indeterminado: las rectas son coincidentes, tienen todos sus puntos en común y existen infinitas soluciones.
Sistema incompatible: las rectas son paralelas, no tienen puntos en común y el sistema no tiene solución.

La solución gráfica de un sistema está determinada por el punto de intersección de sus dos rectas.

Contenido de la página

Idea principal

La solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico es el punto de intersección de las dos rectas representadas en el plano cartesiano.

Ejemplo de la panadería

El precio del pan se representa con $x$ y el precio del queso con $y$ . El sistema correspondiente es:

$\left\{ \begin{aligned} 5x+y&=7\\ 2x+3y&=8 \end{aligned} \right.$

Para graficar cada recta se obtienen dos puntos:

$5x+y=7$ : $(0,7)$ y $\left(\frac{7}{5},0\right)$ .
$2x+3y=8$ : $\left(0,\frac{8}{3}\right)$ y $(4,0)$ .

Las rectas se intersecan en $(1,2)$ . Así, $x=1$ y $y=2$ .

Clasificación

Tipo de sistema	Representación gráfica	Número de soluciones
Compatible determinado	Rectas secantes	Una solución
Compatible indeterminado	Rectas coincidentes	Infinitas soluciones
Incompatible	Rectas paralelas	Ninguna solución

Ejemplos resueltos

En una panadería, 5 panes y 1 queso cuestan $\$ 7 $, mientras que 2 panes y 3 quesos cuestan$ $8$ . ¿Cuánto cuesta cada producto?

Se plantea $5x+y=7$ y $2x+3y=8$ . Las rectas se representan usando dos puntos cada una y se intersecan en $(1,2)$ . Por tanto, el pan cuesta $\$ 1 $y el queso cuesta$ $2$ .

Tabla

Tipo de sistema	Rectas	Soluciones
Compatible determinado	Secantes	Una
Compatible indeterminado	Coincidentes	Infinitas
Incompatible	Paralelas	Ninguna

Fórmulas y ecuaciones

La solución gráfica es el punto de intersección de las dos rectas.

5x+y=7

2x+3y=8

$\left\{$

$\begin{aligned}5x+y&=7\\2x+3y&=8\end{aligned}$

$\right$ .

(x,y)=(1,2)

Glosario (5)

Sistema de ecuaciones lineales: Conjunto de dos o más ecuaciones lineales que deben cumplirse al mismo tiempo.
Punto de intersección: Punto que pertenece simultáneamente a dos rectas; representa la solución gráfica del sistema.
Sistema compatible determinado: Sistema cuyas rectas se cortan en un solo punto y tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado: Sistema cuyas rectas son coincidentes y tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible: Sistema cuyas rectas son paralelas y no tiene solución.

Temas y conceptos clave

Solución gráfica de sistemas de ecuaciones linealesObtención de puntos de una rectaClasificación de sistemas linealesSistema de ecuaciones linealesPunto de intersecciónRectas secantesRectas coincidentesRectas paralelasSolución únicaInfinitas solucionesAusencia de solución

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Figuras de la página (4)

Plano cartesiano con las rectas $5x+y=7$ y $2x+3y=8$, que se intersectan en el punto $(1,2)$. — Figura 2 image

Tres gráficos que muestran rectas secantes, coincidentes y paralelas para explicar los tres tipos de sistemas. — Figura 3 image

Recuadro informativo que indica que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas también se denomina sistema de ecuaciones lineales 2 por 2. — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por el método gráfico?

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¿Qué diferencia existe entre un sistema compatible determinado e indeterminado?

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¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer las variables de un problema
• Resolver ecuaciones lineales sencillas
• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Representar una recta mediante dos puntos

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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por sustitución y eliminación

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Solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales

En una panadería, Esteban pagó $ 7 por la compra de 5 panes y un queso; mien- tras que Elena pagó $ 8 por la compra de 2 panes y 3 quesos de la misma calidad. ¿Cuánto cuesta cada pan y cada queso?

Formamos el sistema de ecuaciones, consideramos como x el precio del pan, mientras que y es el precio del queso.

2 5 5x+y=7 4 2x + 3y=8 E 5

Graficamos las dos ecuaciones del sistema en el plano cartesiano. Para ello, obte- Un buen consumidor utiliza nemos dos puntos de cada recta. las matemáticas en cualquier transacción. 5x+y=7

Six=0; 5(0)+y=7; y=7

Siy=0; 5x+0=7; x=7/5

Los dos puntos por donde pasa la primera recta son: (0, 7) y (7/5, 0) 2x + 3y=8

Six=0; 2(0) + 3y=8; y=8/3

Siy=0; 2x + 3(0) =8; x=4

Los puntos por donde pasa la segunda recta son: (0, 8/3) y (4, 0) Solución

El punto donde se cortan las gráficas son la solución del sistema.

La solución en este caso es: x= 1,y=2

Por lo tanto, cada pan cuesta $1 y cada queso$ 2. Un sistema de dos ecuaciones de primer

2 grado con dos La solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico está incógnitas también se

| determinada por el punto de intersección de las dos rectas. puede llamar sistema

pa de ecuaciones lineales RP

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Sistema compatible determinado | Sistema compatible indeterminado Sistema incompatible

100 fe Eo)

i ed |i

Ll EI Las dos rectas son secantes y tienen | Las dos rectas son coincidentes, Las dos rectas son paralelas no tienen un solo punto en común. tienen todos los puntos comunes. — | ningún punto en común.

El sistema tiene única solución. Todas las soluciones de una de las El sistema no tiene solución.

ecuaciones son también de la otra. El sistema tiene infinitas soluciones.

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