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Método de eliminación gaussiana

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La empresa debe sembrar $35$ hectáreas de palmito y $65$ hectáreas de brócoli.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 145

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución del ejemplo

Sea $x$ el número de hectáreas de palmito y $y$ el número de hectáreas de brócoli.

Ejercicio 1

Planteamiento del sistema

Como se dispone de $100$ hectáreas:

$x+y=100$

Como cada hectárea de palmito requiere $700$ horas y cada hectárea de brócoli requiere $300$ horas, se utilizan $44\,000$ horas:

$700x+300y=44\,000$

Dividimos la segunda ecuación entre $100$ para obtener un sistema equivalente:

$\begin{cases}x+y=100\\7x+3y=440\end{cases}$

Ejercicio 2

Matriz aumentada

La matriz aumentada del sistema es:

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\7&3&440\end{array}\right)$

Ejercicio 3

Eliminación gaussiana

Restamos $7$ veces la fila 1 a la fila 2:

$F_2\leftarrow F_2-7F_1$

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\0&-4&-260\end{array}\right)$

Multiplicamos la fila 2 por $-\frac{1}{4}$ :

$F_2\leftarrow-\frac{1}{4}F_2$

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\0&1&65\end{array}\right)$

De la segunda fila se obtiene:

$y=65$

Ejercicio 4

Sustitución

Sustituimos $y=65$ en la primera ecuación:

$x+65=100$

$x=35$

Solución

La empresa debe sembrar $35$ hectáreas de palmito y $65$ hectáreas de brócoli.

La eliminación gaussiana transforma un sistema en otro equivalente con forma escalonada, facilitando la obtención de sus incógnitas.

Contenido de la página

Método de eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro sistema equivalente cuya matriz tenga forma escalonada. Para lograrlo se aplican operaciones elementales sobre las filas.

Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. La matriz aumentada de un sistema incluye los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Situación planteada

Una empresa dispone de $100$ hectáreas para sembrar palmito y brócoli. Cada hectárea de palmito requiere $700$ horas de trabajo y cada hectárea de brócoli requiere $300$ horas. En total se dispone de $44\,000$ horas.

Si $x$ representa las hectáreas de palmito y $y$ las hectáreas de brócoli, el sistema es:

$\begin{cases}x+y=100\\700x+300y=44\,000\end{cases}$

Al simplificar la segunda ecuación:

$\begin{cases}x+y=100\\7x+3y=440\end{cases}$

Su matriz aumentada es:

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\7&3&440\end{array}\right)$

Después de aplicar $F_2\leftarrow F_2-7F_1$ y $F_2\leftarrow-\frac{1}{4}F_2$ , se obtiene $y=65$ . Al sustituir en $x+y=100$ , resulta $x=35$ .

Ejemplos resueltos

Una empresa tiene $100$ hectáreas y dispone de $44\,000$ horas de trabajo. Cada hectárea de palmito requiere $700$ horas y cada hectárea de brócoli requiere $300$ horas. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar?

Se plantea el sistema $\begin{cases}x+y=100\\7x+3y=440\end{cases}$ . Su matriz aumentada es $\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\7&3&440\end{array}\right)$ . Aplicando $F_2\leftarrow F_2-7F_1$ se obtiene $\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\0&-4&-260\end{array}\right)$ . Luego, con $F_2\leftarrow-\frac{1}{4}F_2$ , resulta $y=65$ . Finalmente, $x+65=100$ , por lo que $x=35$ . Se deben sembrar $35$ hectáreas de palmito y $65$ de brócoli.

Tabla

Cultivo	Hectáreas	Horas por hectárea	Horas totales
Palmito	$x$	$700$	$700x$
Brócoli	$y$	$300$	$300y$
Total	$100$	—	$44\,000$

Fórmulas y ecuaciones

$\begin{cases}x+y=100\\7x+3y=440\end{cases}$

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\7&3&440\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&100\\0&1&65\end{array}\right)$

x+y=100

$700x+300y=44\,000$

7x+3y=440

$F_2\leftarrow$ $F_2-7F_1$

$F_2\leftarrow-@@MATH_0@@F_2$

x=35

y=65

Glosario (4)

Matriz: Conjunto de elementos organizados en filas y columnas.
Matriz aumentada: Matriz que reúne los coeficientes de las variables y los términos independientes de un sistema de ecuaciones.
Forma escalonada: Organización de una matriz en la que se forman ceros debajo de los elementos principales.
Sistema equivalente: Sistema de ecuaciones que tiene las mismas soluciones que el sistema original.

Temas y conceptos clave

Método de eliminación gaussianaSistemas de ecuaciones linealesMatrices aumentadasForma escalonadaSistema equivalenteMatriz aumentadaOperaciones elementales de filasForma escalonadaCoeficientesTérminos independientes

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por eliminación gaussiana?

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¿Qué es una matriz aumentada?

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¿Cómo se transforma una matriz a su forma escalonada?

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales de primer grado
• Identificar coeficientes y términos independientes
• Realizar operaciones con números enteros y fracciones
• Interpretar una matriz organizada en filas y columnas

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Resolución de sistemas de ecuaciones mediante sustitución, igualación y reducción

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Método de eliminación gaussiana

La región Sierra de nuestro país, por su clima y suelos, es apropiada para el cultivo del palmito, brócoli, tomate, cereales, legumbres y frutas que son muy cotizadas en los países a los cuales se exporta.

Una empresa agrícola dispone de 100 hectáreas en las que se produce palmito y brócoli. Cada hectárea de palmito requiere 700 horas de mano de obra y cada hectárea de brócoli, 300 horas. Si se dispone de 44 000 horas y se utilizan todos los recursos humanos y de tierras, ¿cuántas hectáreas de cada grupo deben sembrarse?

Organizamos los datos en una tabla, tenemos que:

ha. Palmito ha. Brócoli Total Ecuación

DUETO OTI CI ET

| Núm. horas palmito Núm. horas brócoli | Total Ecuación

300y

700x + 300y = 44 000

x+y =100 700x +300y = 44 000

El sistema de ecuaciones formado es:

x+y=100 7x+3y =440 Para resolver el sistema de ecuaciones por eliminación gaussiana, se procede así:

El sistema equivalente es: |

Primero, obtenemos la matriz aumentada ubicando los coeficientes de las variables y términos independientes.

Fila 1 (: 1; |

Flla2 17 3 : 440 Segundo, verificamos que la fila 1 empiece con el número 1,como es el caso. Entonces, ala fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 7 que es el coeficiente de x de la fila 2.

Tenemos que transformar a su forma escalonada, es decir, hacer ceros hacia abajo. 1: 100 -4 } -260

Tercero, multiplicamos la fila 2 por -1/4. Esta última matriz ya tiene la forma escalonada. Entonces y = 65.

1 F2—>F2-7F1 f

1 13100 01: 65

Fabre | 4

Cuarto, reemplazamos el valor de y en cualquier ecuacion del sistema.

xX +65 = 100,x = 35. Solución

La empresa debe plantar 35 ha de palmito y 65 ha de brócoli.

Shutterstock, 95065492

Brócoli, se cultiva en la Sierra de nuestro país.

El método de eliminación gaussiana consiste en transformar un sistema de

ecuaciones en otro equivalente, de forma que este sea escalonado.