Resuelve los problemas de aplicación de los literales a) hasta h) utilizando sistemas de ecuaciones lineales.

a) (29,58); b) (27,23); c) (56,24); d) 55; e) (155,597); f) 10; g) (100,200); h) (60,60)

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales del literal a) al g).

a) (2,0); b) (48,13); c) (2,-1); d) ≤ft(1/3,1/2); e) (3,0); f) ; g) ≤ft(4/5,-12/5)

Resuelve los problemas de animales y edades de los literales a), b) y c).

a) (966,644); b) (60,23); c) (65,26)

Investiga las características de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones, escribe dos ejemplos y resuélvelos.

S_1=\(t,5-t):tR\, S_2=≤ft\≤ft(t,2t-6/3):tR\

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Aplicaciones y resolución de sistemas de ecuaciones lineales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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4a) $29$ rojas y $58$ verdes. 4b) $27$ de yogur y $23$ de gaseosa. 4c) A: $56$ ; B: $24$ . 4d) $55$ sellos españoles. 4e) $155$ galones regulares y $597$ especiales. 4f) Daniel: $10$ años. 4g) Normal: $100$ dólares; VIP: $200$ dólares. 4h) Zapatos: $60$ dólares; camiseta: $60$ dólares.

5a) $(2,0)$ . 5b) $(48,13)$ . 5c) $(2,-1)$ . 5d) $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$ . 5e) $(3,0)$ . 5f) Sin solución. 5g) $\left(\frac{4}{5},-\frac{12}{5}\right)$ .

6a) $966$ chanchos y $644$ gallinas. 6b) Luisa: $60$ años; hija: $23$ años. 6c) Ricardo: $65$ años; Julia: $26$ años. 7) Los ejemplos propuestos tienen infinitas soluciones. 8) Se pueden usar GeoGebra, WolframAlpha, Symbolab, Desmos y SageMath.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 147

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Problemas de aplicación

Parte 4.a

Pelotas de ping-pong

Sea $r$ el número de pelotas rojas y $v$ el número de pelotas verdes.

$r+v=87$ $v=2r$

Sustituyendo:

$r+2r=87 \Rightarrow 3r=87 \Rightarrow r=29$ $v=2(29)=58$

Aníbal compró $29$ pelotas rojas y $58$ pelotas verdes.

Parte 4.b

Botellas de yogur y gaseosa

Sea $y$ el número de botellas de yogur y $g$ el número de botellas de gaseosa.

$y+g=50$ $1,50y+1,25g=69,25$

De la primera ecuación, $g=50-y$ . Entonces:

$1,50y+1,25(50-y)=69,25$ $1,50y+62,50-1,25y=69,25$ $0,25y=6,75 \Rightarrow y=27$ $g=50-27=23$

Martha compró $27$ botellas de yogur y $23$ de gaseosa.

Parte 4.c

Estudiantes de dos paralelos

Sea $A$ el número de estudiantes del paralelo A y $B$ el del paralelo B.

$A+B=80$ $A-16=B+16$

De la segunda ecuación, $A=B+32$ . Sustituyendo:

$B+32+B=80 \Rightarrow 2B=48 \Rightarrow B=24$ $A=80-24=56$

El paralelo A tiene $56$ estudiantes y el paralelo B tiene $24$ .

Parte 4.d

Sellos de España y Alemania

Sea $e$ el número de sellos españoles y $a$ el número de sellos alemanes.

$e+a=100$ $a+10=e$

Sustituyendo $e=a+10$ :

$a+10+a=100 \Rightarrow 2a=90 \Rightarrow a=45$ $e=45+10=55$

Juan tiene $55$ sellos españoles.

Parte 4.e

Galones de gasolina

Sea $r$ el número de galones de gasolina regular y $e$ el número de galones de gasolina especial.

$r+e=752$ $1,98r+2,30e=1680$

Como $r=752-e$ :

$1,98(752-e)+2,30e=1680$ $1488,96+0,32e=1680$ $0,32e=191,04 \Rightarrow e=597$ $r=752-597=155$

Se vendieron $155$ galones de gasolina regular y $597$ de especial.

Parte 4.f

Edades de Mario y Daniel

Sea $d$ la edad actual de Daniel y $m$ la edad actual de Mario.

$m=3d$ $m+10=2(d+10)$

Sustituyendo:

$3d+10=2d+20 \Rightarrow d=10$ $m=3(10)=30$

Daniel tiene $10$ años.

Parte 4.g

Boletos normales y VIP

Sea $n$ el precio de un boleto normal. El boleto VIP cuesta $2n$ .

$100(2n)+500n=70000$ $700n=70000 \Rightarrow n=100$ $2n=200$

El boleto normal cuesta $100$ dólares y el VIP cuesta $200$ dólares.

Parte 4.h

Zapatos y camiseta

Sea $z$ el precio de los zapatos y $c$ el precio de la camiseta en el catálogo.

$z+c=120$ $0,50z+0,75c=75$

Multiplicando la segunda ecuación por $4$ :

$2z+3c=300$

Multiplicando la primera por $2$ :

$2z+2c=240$

Al restar:

$c=60$ $z=120-60=60$

En el catálogo, los zapatos costaban $60$ dólares y la camiseta $60$ dólares.

Ejercicio 5

Sistemas de ecuaciones

Parte 5.a

$\begin{cases}4x+3(y-1)=5\\3(y-1)=2x-7\end{cases}$

Al simplificar:

$\begin{cases}4x+3y=8\\-2x+3y=-4\end{cases}$

Al restar las ecuaciones, $6x=12$ , por lo que $x=2$ . Luego, $3(2)+3y=8$ , así que $y=0$ .

Parte 5.b

$\begin{cases}2(x-1)-6(y+2)=4\\4x-3(5y-1)=0\end{cases}$

Se obtiene:

$\begin{cases}x-3y=9\\4x-15y=-3\end{cases}$

De la primera, $x=9+3y$ . Sustituyendo:

$4(9+3y)-15y=-3 \Rightarrow y=13$ $x=9+3(13)=48$

Parte 5.c

$\begin{cases}\frac{2x-y}{5}=x-1\\3x-\frac{2x-y}{5}=5\end{cases}$

De la primera ecuación, $2x-y=5x-5$ , por lo que $y=5-3x$ . Sustituyendo la fracción de la primera ecuación en la segunda:

$3x-(x-1)=5 \Rightarrow 2x+1=5 \Rightarrow x=2$ $y=5-3(2)=-1$

Parte 5.d

$\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}\\\frac{5}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{3}{4}\end{cases}$

Al restar las ecuaciones:

$\frac{3}{4}x=\frac{1}{4} \Rightarrow x=\frac{1}{3}$

Sustituyendo en la primera:

$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{2}$

Parte 5.e

$\begin{cases}11x+2y=33\\x+\frac{1}{11}y=3\end{cases}$

Multiplicando la segunda ecuación por $11$ :

$11x+y=33$

Restando esta ecuación de la primera, $y=0$ . Entonces:

$11x=33 \Rightarrow x=3$

Parte 5.f

$\begin{cases}5x+0,5y=2,8\\2,5x+0,25y=-4\end{cases}$

El lado izquierdo de la segunda ecuación es la mitad del lado izquierdo de la primera. Sin embargo, la mitad de $2,8$ es $1,4$ , no $-4$ . Por tanto, el sistema es incompatible y no tiene solución.

Parte 5.g

$\begin{cases}3(x+y)=5x+2y-4\\7x-4(x-y)=3y\end{cases}$

Al simplificar:

$\begin{cases}y=2x-4\\3x+y=0\end{cases}$

Sustituyendo $y=-3x$ en la primera:

$-3x=2x-4 \Rightarrow 5x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{5}$ $y=-3\left(\frac{4}{5}\right)=-\frac{12}{5}$

Ejercicio 6

Problemas

Parte 6.a

Chanchos y gallinas

Sea $c$ el número de chanchos y $g$ el número de gallinas.

$c+g=1610$ $4c+2g=5152$

De la primera, $g=1610-c$ . Sustituyendo:

$4c+2(1610-c)=5152$ $2c=1932 \Rightarrow c=966$ $g=1610-966=644$

Hay $966$ chanchos y $644$ gallinas.

Parte 6.b

Edades de Luisa y su hija

Sea $h$ la edad actual de la hija y $l$ la edad de Luisa.

$l=h+37$ $l+14=2(h+14)$

Sustituyendo:

$h+37+14=2h+28 \Rightarrow h=23$ $l=23+37=60$

La hija tiene $23$ años y Luisa tiene $60$ años.

Parte 6.c

Edades de Ricardo y Julia

Sea $j$ la edad actual de Julia y $r$ la edad de Ricardo.

$r=j+39$ $r+13=2(j+13)$

Sustituyendo:

$j+39+13=2j+26 \Rightarrow j=26$ $r=26+39=65$

Julia tiene $26$ años y Ricardo tiene $65$ años.

Ejercicio 7

Sistemas con infinitas soluciones

Un sistema tiene infinitas soluciones cuando sus ecuaciones representan la misma recta. Al simplificar, ambas ecuaciones quedan proporcionales y se obtiene una igualdad verdadera, como $0=0$ .

Ejemplo 1:

$\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}$

La segunda ecuación es el doble de la primera. Por tanto, sus soluciones son todos los pares que cumplen:

$y=5-x$

Solución general: $(x,y)=(t,5-t)$ , con $t\in\mathbb{R}$ .

Ejemplo 2:

$\begin{cases}2x-3y=6\\-4x+6y=-12\end{cases}$

La segunda ecuación es $-2$ veces la primera. Por tanto, sus soluciones son todos los pares que cumplen:

$2x-3y=6$

Solución general: $(x,y)=\left(t,\frac{2t-6}{3}\right)$ , con $t\in\mathbb{R}$ .

Ejercicio 8

Programas informáticos

Algunos programas que resuelven sistemas de ecuaciones lineales son GeoGebra, WolframAlpha, Symbolab, Desmos y SageMath. Por ejemplo, en GeoGebra se puede escribir Resuelve({11x+2y=33, x+y/11=3},{x,y}); el resultado es $x=3$ , $y=0$ .

Contenido de la página

La página aplica sistemas de dos ecuaciones lineales a situaciones de cantidades, precios, edades, animales y ventas. Incluye siete sistemas para resolver y tres problemas adicionales. Finalmente, propone investigar los sistemas con infinitas soluciones y herramientas digitales para resolver ecuaciones.

Ejemplos resueltos

Un sistema tiene infinitas soluciones cuando sus dos ecuaciones son equivalentes.

$\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}$ tiene infinitas soluciones porque la segunda ecuación es el doble de la primera. La solución general es $(x,y)=(t,5-t)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\text{precio total}=\text{cantidad}\times\text{precio unitario}$

$\text{número de patas}=4(\text{chanchos})+2(\text{gallinas})$

$\text{edad futura}=\text{edad actual}+\text{años transcurridos}$

$r+v=87$

$y+g=50$

$A+B=80$

$r+e=752$

$m=3d$

$c+g=1610$

Glosario (5)

Sistema de ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Solución: Valor o conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones del sistema.
Sistema incompatible: Sistema que no tiene ninguna solución.
Infinitas soluciones: Situación en la que existen muchos pares ordenados que satisfacen el sistema, porque las ecuaciones representan la misma recta.
Variable: Cantidad desconocida que se representa mediante una letra.

Preguntas para practicar

¿Cómo se puede representar gráficamente un sistema con infinitas soluciones?

¿Por qué un sistema incompatible no tiene punto de intersección?

¿Qué ventajas ofrece un programa informático al resolver sistemas de ecuaciones?

Temas y conceptos clave

Problemas con sistemas de ecuacionesResolución de sistemas linealesSistemas sin soluciónSistemas con infinitas solucionesUso de programas informáticosVariableSistema de ecuacionesSustituciónReducciónSolución únicaSistema incompatibleInfinitas soluciones

Fuentes y referencias

GeoGebra
WolframAlpha
Symbolab
Desmos
SageMath

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelven problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si un sistema tiene infinitas soluciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones de primer grado
• Simplificar expresiones algebraicas
• Operar con fracciones y números decimales
• Plantear incógnitas a partir de un problema

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Interpretación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3082 caracteres

Encuentra la solución de los problemas, utilizan- do sistemas de ecuaciones lineales.

a) Aníbal compró 87 pelotas de ping-pong en : total. Si el número de pelotas verdes es el doble : de las pelotas rojas, ¿cuántas pelotas de cada :

color compró? b)

Martha?

©) En dos paralelos de décimo de básica hay : en total 80 estudiantes. Si del paralelo “A” ¿ se pasan 16 estudiantes al paralelo “B’ en- : tonces en los dos cursos queda la misma : cantidad de estudiantes. ¿Cuántos estudian- :

tes tiene cada paralelo? d)

see de ambos países. ¿Cuántos sellos españoles tiene Juan?

vendieron ayer?

f) La edad actual de Mario es el triple que la de su sobrino Daniel y, dentro de 10 años, : la edad de Mario será el doble que la de Daniel. :

¿Qué edad tiene Daniel?

Martha compró 50 botellas de refrescos entre: yogur y gaseosas. Por cada botella de yogur : pagó $ 1,50, y por cada botella de gaseosa ' pagó $1,25. En total pagó$ 69,25. ¿Cuán- : tas botellas de gaseosa y de yogur compró :

Juan es filatelista y en su colección tiene 100 : sellos muy antiguos de España y Alemania. : Él está tratando de comprar 10 sellos alema- ' nes para igualar la cantidad de sellos que po- :

En una gasolinera el galón de gasolina regu- : lar cuesta $1,98 y$ 2,30 el de especial. Ayer ' vendieron 752 galones y recaudaron $ 1 680. : ¿Cuántos galones de cada tipo de gasolina 3

El precio de los boletos VIP para un concierto E es el doble que el de los boletos normales, Se:

E Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan. 5. Resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales por el método que prefieran.

4x+3(y-1)=5 2) [3y-1)=2x-7 py [26 D-6Y+2)=4 ) | 4x-3(6y-1)=0 AY =x 1 c) 3x- 2 =5 AA Ket A ? awe Ae llo oa es AA 11x+2y=33 e) fe y Ma aS 5x + 0,5y = 2,8

[25x +0,25y =-4 3(X + y) = 5x + 2y - 4
7x - 4(x - y) = 3y

Resuelvan los siguientes problemas.

a) Enlaquinta de Emilio hay chanchos y gallinas. En total se contabilizaron 1 610 cabezas y

5 152 patas. ¿Cuántos chanchos y gallinas hay en la quinta de Emilio?

b) Luisa tiene 37 años más que su hija, pero

en 14 años tendrá el doble de la edad de su hija. ¿Qué edad tienen ahora ambas? ©) Ricardo tiene ahora 39 años más que Julia,

pero en 13 años tendrá el doble que Julia. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

han vendido 100 entradas VIP y 500 entradas : normales y se ha recaudado 70 000 dólares. :

¿Cuál es el precio de los boletos? h)

Adrián desea comprar un par de zapatos y : una camiseta que en un catálogo tienen un : precio de 120 dólares ambos artículos. Llega :

3 Actividad indagatoria

Indaga acerca de qué características tiene un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones. Escribe dos ejemplos y resuelve esos sistemas.

al almacén y descubre que los zapatos tienen :

un descuento del 50 % y la camiseta de un E 25 % y paga un total de 75 dólares. ¿Cuál era :

el precio de cada artículo en el catálogo?

Averigua qué programas informáticos pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales; prac- tica la solución de los ejercicios de esta página en alguno de esos programas.

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