Encuentra el valor de los ocho determinantes dados.

Aplica ad-bc a cada matriz de orden 2.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Evaluación formativa: determinantes y sistemas de ecuaciones

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $-54$ ; b) $-7$ ; c) $-2$ ; d) $4$ ; e) $342$ ; f) $1$ ; g) $-5$ ; h) $3$ .
Compatibles determinados: a), d), e) y f). Incompatibles: b) y c).
a) F; b) V; c) F; d) F.
$D=1$ , $D_x=-3$ , $D_y=-3$ .
a) A; b) C; c) B; d) D.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 25 min lectura

Solución — Página 150

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Cálculo de determinantes

Para una matriz de orden $2$ , se utiliza: $\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc.$

a) $D=(-3)(8)-(6)(5)=-24-30=-54$ .
b) $A=(-7)(1)-(0)(-5)=-7$ .
c) $B=(2)(-3)-(-1)(4)=-6+4=-2$ .
d) $C=(12)(5)-(-8)(-7)=60-56=4$ .
e) $F=(1)(-48)-(26)(-15)=-48+390=342$ .
f) $(2)(1)-(1)(1)=1$ .
g) $(-1)(-3)-(-4)(-2)=3-8=-5$ .
h) $(2)(1)-(-1)(1)=2+1=3$ .

Ejercicio 2

Sistemas compatibles determinados

Un sistema es compatible determinado cuando tiene una única solución.

a) El determinante de coeficientes es $(-4)(-1)-(-4)(7)=32\neq 0$ . Por tanto, tiene una única solución.
b) Las expresiones del lado izquierdo son iguales, pero sus resultados son distintos: $2x+7y=14$ y $2x+7y=10$ . El sistema es incompatible.
c) Al resolver las ecuaciones segunda y tercera se obtiene $x=-\frac{10}{3}$ y $y=-\frac{8}{3}$ , pero estos valores no cumplen la primera ecuación. Es incompatible.
d) El determinante es $(1)(-3)-(10)(8)=-83\neq 0$ . Tiene una única solución.
e) De $4y=-8$ se obtiene $y=-2$ . Luego, $3x-2=-4$ , por lo que $x=-\frac{2}{3}$ . Tiene una única solución.
f) El determinante es $(2)(-4)-(3)(1)=-11\neq 0$ . Tiene una única solución.

Ejercicio 3

Verdadero o falso

a) Falso. La regla de Cramer se aplica a sistemas cuadrados, con igual número de ecuaciones e incógnitas y determinante de coeficientes diferente de cero.
b) Verdadero. Un determinante posee una estructura ordenada y su resultado es un escalar o número.
c) Falso. Un determinante sí puede ser negativo, como $D=-54$ en el ejercicio 1.
d) Falso. La regla de Cramer no se aplica directamente a sistemas con infinitas soluciones, porque su determinante principal es cero.

Ejercicio 4

Determinantes de Cramer

Para el sistema $\begin{cases} -x+y=2\\ 2x+y=1 \end{cases}$

El determinante de los coeficientes es: $D=\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right|=(2)(1)-(1)(1)=1.$

El determinante de $x$ es: $D_x=\left|\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right|=(-1)(1)-(1)(2)=-3.$

El determinante de $y$ es: $D_y=\left|\begin{array}{cc}-1&2\\1&1\end{array}\right|=(-1)(1)-(2)(1)=-3.$

Por la regla de Cramer: $x=\frac{D_x}{D}=\frac{-3}{1}=-3,\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-3}{1}=-3.$

Ejercicio 5

Selección de respuestas

a) Probamos $x=3$ y $y=2$ : $7(3)-4(2)=13$ y $9(3)+5(2)=37$ . La respuesta correcta es A.
b) Probamos $x=4$ y $y=3$ : $9(4)+2(3)=42$ y $8(4)-5(3)=17$ . La respuesta correcta es C.
c) Probamos $x=6$ y $y=4$ : $10(6)+6(4)=84$ y $2(6)+5(4)=32$ . La respuesta correcta es B.
d) Probamos $x=9$ y $y=10$ : $3(9)+10=37$ y $3(9)+4(10)=67$ . La respuesta correcta es D.

Contenido de la página

Fórmula del determinante

$\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc$

Regla de Cramer

Para un sistema de dos ecuaciones con $D\neq 0$ : $x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.$

Un sistema compatible determinado tiene una única solución. Si las ecuaciones presentan una contradicción, el sistema es incompatible.

Fórmulas y ecuaciones

$D=ad-bc$

$x=\frac{D_x}{D}$

$y=\frac{D_y}{D}$

$\left|$

$\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}$

$\right|=ad-bc$

x= $\frac{D_x}{D}$

y= $\frac{D_y}{D}$

Glosario (4)

Determinante: Número obtenido a partir de los elementos de una matriz cuadrada.
Sistema compatible determinado: Sistema de ecuaciones que tiene exactamente una solución.
Sistema incompatible: Sistema de ecuaciones que no tiene solución.
Regla de Cramer: Método que utiliza determinantes para resolver sistemas cuadrados de ecuaciones.

Temas y conceptos clave

Cálculo de determinantesCompatibilidad de sistemas de ecuacionesRegla de CramerVerificación de solucionesDeterminante de orden 2Determinante de coeficientesDeterminantes $D_x$ y $D_y$Sistema compatible determinadoSistema incompatibleRegla de Cramer

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y resta de números enteros
• Operaciones con fracciones
• Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales
• Concepto de matriz de orden 2

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Aplicación de la regla de Cramer en sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

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Taller

Evaluación formativa

150

1,M,4,3,5.

Encuentra el valor de los siguientes determinantes: E a) DE -3 6 pb O ° 5 1 o hs 2 -1 4 -3 discal 7 5 sire (420) -15 -48 2] f) 11 ) 1 -4 i er ee 2 -1 h y 1 al

Establece si los siguientes sistemas son compati- : bles determinados. :

a fe eee d) e

7x-y=45 8x -3y =43 b) 2x+7y=14 e) 3x+ y =-4 2x+7y=10 4y=-8

3x+6y =-1

d Rs: 1) 2x+3y=5 4x-5y=0 x-4y=9 2x-y=-4

Identifica con (V) si los siguientes enunciados son :

verdaderos o con (F) si son falsos.

a) Un sistema de ecuaciones con tres incógni- : tas y dos ecuaciones se puede resolver porel : método de Cramer. H

b) Un determinante tiene una estructura ordenada : y su resultado siempre es un escalar o número. — +:

©) Un determinante no puede ser negativo

d) Un sistema con infinitas soluciones puede ser resuelto con la regla de Cramer,

. Identifica el determinante de los coeficientes

(D), el determinante de la variable x (D) y el determinante de y (D,) para el siguiente sistema de ecuaciones:

-X+y=2 2x+y=1

Selecciona la respuesta correcta que satisface cada sistema de ecuaciones.

) 7x-4y=13 9x+5y =37 A) x=3; y=2 C) x=0, y=1 B) x=2; y=-1 D).x=2; y =3 b) 9x+2y=42 8x-5y=17 A) x=3, y=-4 C) x=4 y=3 B) x=-4, y=-3 D) x=4; y=-3 6 10x+6y =84 2x+5y =32 A) x=4;y=6 C) x=6;yv-4 B) x=6;y=4 D) x=4,y=1 d) 3X+ y =37 3x+4y =67 A) x=10, y=9 C) x=3; y=5 B) x=-9; y=10 D) x=9; y=10

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