Resolución de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer

Regla de Cramer

Para un sistema ax+by=e y cx+dy=f se calculan:

\Delta=ad-bc

\Delta_x=ed-bf,\qquad \Delta_y=af-ec

Luego:

x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}

Aplicando los determinantes de Cramer:

• a) \Delta=-28, \Delta_x=-56, \Delta_y=-28; por tanto, x=2, y=1.
• b) \Delta=18, \Delta_x=180, \Delta_y=72; por tanto, x=10, y=4.
• c) \Delta=-4, \Delta_x=-20, \Delta_y=-4; por tanto, x=5, y=1.
• d) \Delta=-20, \Delta_x=-60, \Delta_y=-20; por tanto, x=3, y=1.
• e) \Delta=-6, \Delta_x=-6, \Delta_y=-42; por tanto, x=1, y=7.
• f) \Delta=46, \Delta_x=46, \Delta_y=46; por tanto, x=1, y=1.
• g) \Delta=-1, \Delta_x=-2, \Delta_y=3; por tanto, x=2, y=-3.
• h) \Delta=-3, \Delta_x=-6, \Delta_y=-3; por tanto, x=2, y=1.
• i) \Delta=-17, \Delta_x=-51, \Delta_y=0; por tanto, x=3, y=0.
• j) \Delta=-11, \Delta_x=-22, \Delta_y=11; por tanto, x=2, y=-1.
• k) \Delta=-9, \Delta_x=-27, \Delta_y=18; por tanto, x=3, y=-2.
• l) \Delta=11, \Delta_x=11, \Delta_y=55; por tanto, x=1, y=5.
• m) \Delta=-5, \Delta_x=10, \Delta_y=0; por tanto, x=-2, y=0.
• n) \Delta=-15, \Delta_x=-60, \Delta_y=0; por tanto, x=4, y=0.
• o) \Delta=38, \Delta_x=190, \Delta_y=-76; por tanto, x=5, y=-2.
• p) \Delta=-5, \Delta_x=-15, \Delta_y=5; por tanto, x=3, y=-1.

Los sistemas se pueden resolver por Cramer, sustitución o eliminación. Al comparar los resultados se obtiene:

• a) x=7, y=4.
• b) x=10, y=4.
• c) x=6, y=1.
• d) x=4, y=2.
• e) x=9, y=6.

a) Sean x y y los números, con x>y:

x+y=60 x-y=12

Al sumar las ecuaciones: 2x=72, de donde x=36. Entonces y=60-36=24. Los números son 36 y 24.

b) Sea h la altura y b la base. Como b=3h y el perímetro es 32 cm:

2b+2h=32 b+h=16

Sustituyendo b=3h: 4h=16, por lo que h=4 cm y b=12 cm. El área es:

A=b\cdot h=12\cdot4=48\text{ cm}^2

c) Sean M y m las edades actualizadas del mayor y del menor. Se cumple:

M+m=64 M+8=3(m+8)

De la segunda ecuación, M=3m+16. Sustituyendo: 3m+16+m=64, así que m=12 y M=52. Actualmente tienen 52 y 12 años.

d) Sea J la edad de Juan y A la edad de Andrés. La frase indica:

A=\frac{2}{3}J+6 A+J=61

Sustituyendo: \frac{2}{3}J+6+J=61. Entonces \frac{5}{3}J=55, por lo que J=33 y A=28. Juan tiene 33 años y Andrés 28 años.

Sea B el dinero inicial de Beatriz y A el de Alejandro. La primera condición dice A=2B. Si Alejandro entrega $25 dólares a Beatriz, la condición escrita en la página sería:

A-25=2(B+25)

Al sustituir A=2B se obtiene 2B-25=2B+50, es decir, -25=50, una contradicción. Por lo tanto, el enunciado tal como está escrito no tiene solución. Probablemente existe un error de impresión en la segunda condición.