Resolver los problemas de números, rectángulos y edades.

a) 36 y 24; b) b=12 cm, h=4 cm, A=48 cm^2; c) 52 y 12 años; d) J=33 años, A=28 años

Alejandro tiene el doble de dinero que Beatriz. Si Alejandro da $25 a Beatriz, según el texto, conserva entonces el doble que Beatriz. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al principio?

No existe solución con el enunciado escrito

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

151/255

Resolución de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 151

151 de 255

Anterior Página 151 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

Respuestas

6: a) $(2,1)$ ; b) $(10,4)$ ; c) $(5,1)$ ; d) $(3,1)$ ; e) $(1,7)$ ; f) $(1,1)$ ; g) $(2,-3)$ ; h) $(2,1)$ ; i) $(3,0)$ ; j) $(2,-1)$ ; k) $(3,-2)$ ; l) $(1,5)$ ; m) $(-2,0)$ ; n) $(4,0)$ ; o) $(5,-2)$ ; p) $(3,-1)$ .

7: a) $(7,4)$ ; b) $(10,4)$ ; c) $(6,1)$ ; d) $(4,2)$ ; e) $(9,6)$ .

8: a) $36$ y $24$ ; b) base $12$ cm, altura $4$ cm, área $48$ cm $^2$ ; c) $52$ y $12$ años; d) Juan $33$ años y Andrés $28$ años.

9: No existe solución con el enunciado transcrito; presenta una contradicción.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 18 min lectura

Solución — Página 151

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Regla de Cramer

Para un sistema $ax+by=e$ y $cx+dy=f$ se calculan:

$\Delta=ad-bc$

$\Delta_x=ed-bf,\qquad \Delta_y=af-ec$

Luego:

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

Ejercicio 6

Aplicando los determinantes de Cramer:

a) $\Delta=-28$ , $\Delta_x=-56$ , $\Delta_y=-28$ ; por tanto, $x=2$ , $y=1$ .
b) $\Delta=18$ , $\Delta_x=180$ , $\Delta_y=72$ ; por tanto, $x=10$ , $y=4$ .
c) $\Delta=-4$ , $\Delta_x=-20$ , $\Delta_y=-4$ ; por tanto, $x=5$ , $y=1$ .
d) $\Delta=-20$ , $\Delta_x=-60$ , $\Delta_y=-20$ ; por tanto, $x=3$ , $y=1$ .
e) $\Delta=-6$ , $\Delta_x=-6$ , $\Delta_y=-42$ ; por tanto, $x=1$ , $y=7$ .
f) $\Delta=46$ , $\Delta_x=46$ , $\Delta_y=46$ ; por tanto, $x=1$ , $y=1$ .
g) $\Delta=-1$ , $\Delta_x=-2$ , $\Delta_y=3$ ; por tanto, $x=2$ , $y=-3$ .
h) $\Delta=-3$ , $\Delta_x=-6$ , $\Delta_y=-3$ ; por tanto, $x=2$ , $y=1$ .
i) $\Delta=-17$ , $\Delta_x=-51$ , $\Delta_y=0$ ; por tanto, $x=3$ , $y=0$ .
j) $\Delta=-11$ , $\Delta_x=-22$ , $\Delta_y=11$ ; por tanto, $x=2$ , $y=-1$ .
k) $\Delta=-9$ , $\Delta_x=-27$ , $\Delta_y=18$ ; por tanto, $x=3$ , $y=-2$ .
l) $\Delta=11$ , $\Delta_x=11$ , $\Delta_y=55$ ; por tanto, $x=1$ , $y=5$ .
m) $\Delta=-5$ , $\Delta_x=10$ , $\Delta_y=0$ ; por tanto, $x=-2$ , $y=0$ .
n) $\Delta=-15$ , $\Delta_x=-60$ , $\Delta_y=0$ ; por tanto, $x=4$ , $y=0$ .
o) $\Delta=38$ , $\Delta_x=190$ , $\Delta_y=-76$ ; por tanto, $x=5$ , $y=-2$ .
p) $\Delta=-5$ , $\Delta_x=-15$ , $\Delta_y=5$ ; por tanto, $x=3$ , $y=-1$ .

Ejercicio 7

Los sistemas se pueden resolver por Cramer, sustitución o eliminación. Al comparar los resultados se obtiene:

a) $x=7$ , $y=4$ .
b) $x=10$ , $y=4$ .
c) $x=6$ , $y=1$ .
d) $x=4$ , $y=2$ .
e) $x=9$ , $y=6$ .

Ejercicio a

** Sean $x$ y $y$ los números, con $x>y$:

$x+y=60$ $x-y=12$

Al sumar las ecuaciones: $2x=72$ , de donde $x=36$ . Entonces $y=60-36=24$ . Los números son $36$ y $24$ .

Ejercicio b

** Sea $h$ la altura y $b$ la base. Como $b=3h$ y el perímetro es $32$ cm:

$2b+2h=32$ $b+h=16$

Sustituyendo $b=3h$ : $4h=16$ , por lo que $h=4$ cm y $b=12$ cm. El área es:

$A=b\cdot h=12\cdot4=48\text{ cm}^2$

Ejercicio c

** Sean $M$ y $m$ las edades actualizadas del mayor y del menor. Se cumple:

$M+m=64$ $M+8=3(m+8)$

De la segunda ecuación, $M=3m+16$ . Sustituyendo: $3m+16+m=64$ , así que $m=12$ y $M=52$ . Actualmente tienen $52$ y $12$ años.

Ejercicio d

** Sea $J$ la edad de Juan y $A$ la edad de Andrés. La frase indica:

$A=\frac{2}{3}J+6$ $A+J=61$

Sustituyendo: $\frac{2}{3}J+6+J=61$ . Entonces $\frac{5}{3}J=55$ , por lo que $J=33$ y $A=28$ . Juan tiene $33$ años y Andrés $28$ años.

Ejercicio 9

Sea $B$ el dinero inicial de Beatriz y $A$ el de Alejandro. La primera condición dice $A=2B$ . Si Alejandro entrega $25 dólares a Beatriz, la condición escrita en la página sería:

$A-25=2(B+25)$

Al sustituir $A=2B$ se obtiene $2B-25=2B+50$ , es decir, $-25=50$ , una contradicción. Por lo tanto, el enunciado tal como está escrito no tiene solución. Probablemente existe un error de impresión en la segunda condición.

Contenido de la página

Fórmula de Cramer

Para el sistema $ax+by=e$ y $cx+dy=f$ :

$\Delta=ad-bc$ $\Delta_x=ed-bf$ $\Delta_y=af-ec$ $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

Si $\Delta\neq0$ , el sistema tiene una única solución. La página incluye dieciséis sistemas para practicar, cinco sistemas de comparación, cuatro problemas de aplicación y una actividad investigativa sobre dinero.

Ejemplos resueltos

Resolver $3x+y=7$ y $7x-7y=7$ mediante Cramer.

$\Delta=3(-7)-1(7)=-28$ , $\Delta_x=7(-7)-1(7)=-56$ y $\Delta_y=3(7)-7(7)=-28$ . Por tanto, $x=\frac{-56}{-28}=2$ y $y=\frac{-28}{-28}=1$ .

Un rectángulo tiene perímetro $32$ cm y su base es el triple de su altura.

Si $b=3h$ , entonces $2b+2h=32$ implica $b+h=16$ . Así, $3h+h=16$ , $h=4$ cm y $b=12$ cm. El área es $A=12\cdot4=48$ cm $^2$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$

$y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

$A=b\cdot h$

$P=2b+2h$

$\Delta=ad-bc$

$\Delta_x=ed-bf$

$\Delta_y=af-ec$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$

$y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

Glosario (4)

Determinante: Número calculado a partir de los coeficientes de una matriz; permite aplicar la regla de Cramer.
Regla de Cramer: Método para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes.
Sistema de ecuaciones: Conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Variable: Símbolo, como $x$ o $y$, cuyo valor se busca determinar.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario que el determinante principal sea diferente de cero?

¿Qué ventajas tiene la regla de Cramer frente al método de eliminación?

¿Cómo se puede representar gráficamente la solución de un sistema?

Temas y conceptos clave

Regla de CramerSistemas de ecuaciones linealesResolución de problemas mediante ecuacionesDeterminante principalDeterminantes auxiliaresSolución ordenada $(x,y)$Planteamiento de sistemasVerificación de soluciones

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica la regla de Cramer en un sistema de dos ecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo resolver problemas de edades mediante sistemas de ecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué ocurre cuando el determinante principal de un sistema es cero?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver operaciones con números enteros y fracciones
• Identificar coeficientes y términos independientes
• Calcular determinantes de matrices de orden dos
• Plantear ecuaciones a partir de problemas escritos

Siguiente tema sugerido

Interpretación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales y clasificación según el número de soluciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1498 caracteres

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer:

) 3x+ y =7 7x-7y=7 ) 4x+6y =64 xX+6y =34 e) 2x+2y=12 3x+ y =16

d) x+10y=13 3x+10y =19

» Fee

4x+5y =39

f) 5x-3y=2 2x+8y=10

2x-y=7

Le Loy:

h) ble =5

; 5x+4y=15 ) 3x-y=9

3x+2y=13

) ae x-y=-2

€ pue

3x-2y=12

) 6x-5y=40 4x+3y=14

) 6x-y=19 P x-y=4

Ha Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan.

Encuentren la solución de los sistemas por el método de Cramer y por cualquier otro méto- do estudiado. Luego, comparen las soluciones. ) 8x+2y =64 3x+y=25

) 7x-9y =34 2x+3y =32

<) 8x-y=47 x+8y=14

10x-7y =26 8x+ y =34

) 2x-2y =6 3x+3y =45

Resuelvan los siguientes problemas.

a) ¿Cuáles son los números cuya suma es 60 y su diferencia es 12?

b) Un rectángulo tiene un perímetro de 32 cm y la longitud de la base es el triple de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuál es el área del rectángulo?

©) La edad de Pepe y la de Sandra suma 64 años. Dentro de 8 años, el mayor tendrá el triple de la edad del menor. ¿Qué edad tienen en la actualidad?

d) Juan le dice a Andrés: “Tu edad es los dos tercios de mi edad aumentada en seis años”. Si la suma de sus edades es 61 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Actividad indagatoria

Indaga y resuelve por el método de Cramer y por el método gráfico. Alejandro tiene el doble de dinero que Beatriz. Si Alejandro da $ 25 a Beatriz, tiene entonces el doble que Beatriz. ¿Cuánto dinero tiene cada uno al principio?

Páginas cercanas