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Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Habitaciones: $84$ dobles y $32$ $simples.\n\nFinca$ de Mateo: $12$ vacas y $8$ gallinas.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 153

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Resolución de los ejemplos

Ejemplo anterior: habitaciones dobles y simples

El sistema representado es:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=116\\ 2x+y&=200 \end{aligned}\right.$

Aplicamos eliminación gaussiana:

$f_2\rightarrow f_2-2f_1$

Entonces:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=116\\ -y&=-32 \end{aligned}\right.$

Multiplicamos la segunda ecuación por $-1$ :

$y=32$

Sustituimos este valor en la primera ecuación:

$x+32=116$

$x=84$

Por lo tanto, existen $84$ habitaciones dobles y $32$ habitaciones simples.

Ejemplo b: vacas y gallinas

Definimos las variables:

$x$ : número de vacas.
$y$ : número de gallinas.

Como hay $20$ cabezas, se cumple:

$x+y=20$

Como cada vaca tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, se cumple:

$4x+2y=64$

Dividimos la segunda ecuación entre $2$ para obtener un sistema equivalente:

$\left\{\begin{aligned} x+y&=20\\ 2x+y&=32 \end{aligned}\right.$

Aplicamos la regla de Cramer. El determinante principal es:

$D=\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2=-1$

Calculamos los determinantes de $x$ y $y$ :

$\Delta x=\begin{vmatrix}20&1\\32&1\end{vmatrix}=20-32=-12$

$\Delta y=\begin{vmatrix}1&20\\2&32\end{vmatrix}=32-40=-8$

Ahora dividimos cada determinante entre $D$ :

$x=\frac{\Delta x}{D}=\frac{-12}{-1}=12$

$y=\frac{\Delta y}{D}=\frac{-8}{-1}=8$

Verificación:

$12+8=20$

$4(12)+2(8)=48+16=64$

Por lo tanto, en la finca hay $12$ vacas y $8$ gallinas.

Contenido de la página

Ideas principales

Los sistemas de ecuaciones lineales permiten representar situaciones reales con dos cantidades desconocidas. En la página se emplean dos procedimientos:

Eliminación gaussiana: se transforma el sistema para eliminar una de las variables.
Regla de Cramer: se calculan determinantes para obtener directamente los valores de las variables.

Estos sistemas tienen aplicaciones en el comercio, la industria y la geometría. También se destaca la importancia de la perseverancia al resolver problemas y se menciona el sistema oral de numeración secoya.

Ejemplos resueltos

En una finca hay vacas y gallinas. En total se contabilizan $20$ cabezas y $64$ patas. ¿Cuántas vacas y gallinas hay?

Sea $x$ el número de vacas y $y$ el número de gallinas. El sistema es $x+y=20$ y $4x+2y=64$ . Al aplicar Cramer se obtiene $D=-1$ , $\Delta x=-12$ y $\Delta y=-8$ . Por tanto, $x=\frac{-12}{-1}=12$ y $y=\frac{-8}{-1}=8$ .

Tabla

| Cantidad | Vacas ( $x$ ) | Gallinas ( $y$ ) | Total $|\n|---|---:|---:|---:|\n|$ Cabezas | $x$ | $y$ | $20$ $|\n|$ Patas | $4x$ | $2y$ | $64$ |

Fórmulas y ecuaciones

x= $\frac{\Delta x}{D}$

y= $\frac{\Delta y}{D}$

$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$

=ad-bc

$\left\{$

$\begin{aligned}x+y&=116\\2x+y&=200\end{aligned}$

$\right$ .

$\left\{$

$\begin{aligned}x+y&=20\\4x+2y&=64\end{aligned}$

$\right$ .

$\left\{$

$\begin{aligned}x+y&=20\\2x+y&=32\end{aligned}$

$\right$ .

$\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}$

=-1

$\Delta$ x=

$\begin{vmatrix}20&1\\32&1\end{vmatrix}$

=-12

$\Delta$ y=

$\begin{vmatrix}1&20\\2&32\end{vmatrix}$

=-8

x= $\frac{\Delta x}{D}$ =12

y= $\frac{\Delta y}{D}$ =8

Glosario (5)

Sistema de ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
Eliminación gaussiana: Método que transforma un sistema mediante operaciones con filas para eliminar variables.
Determinante: Valor numérico asociado a una matriz cuadrada que puede utilizarse para resolver sistemas.
Regla de Cramer: Método que determina las incógnitas de un sistema mediante cocientes de determinantes.
Sistema equivalente: Sistema que tiene las mismas soluciones que el sistema original.

Temas y conceptos clave

Eliminación gaussianaRegla de CramerModelación de problemas cotidianos mediante sistemas linealesVariableSistema equivalenteDeterminante principalDeterminantes auxiliaresSolución de un sistemaVerificación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por eliminación gaussiana?

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¿Cómo se aplica la regla de Cramer en un sistema de dos ecuaciones?

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¿Cómo plantear un problema de cabezas y patas con ecuaciones?

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales de primer grado
• Operar con números enteros
• Calcular determinantes de matrices de orden dos
• Traducir situaciones cotidianas a ecuaciones

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Resolución e interpretación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1874 caracteres

Resolviendo por eliminación gaussiana, tenemos:

£la1 13116 6

1 if, > f,-2F, 2 1115 la (3

1 ¿116 15-32)

Multiplicando la fila 2 por -1, obtendremos:

y = 32. Reemplazando ese valor en la primera ecuación, hallaremos el valor de x.

x+32=116;x=84 Solución

Existen 84 habitaciones dobles y 32 habitaciones simples.

En la finca de Mateo hay vacas y gallinas. En total se contabilizaron 20 cabezas

y 64 patas. ¿Cuántas vacas y gallinas hay en la inca de Mateo?

Identificamos las variables: x = vacas, y = gallinas.

Organizamos los datos en una tabla.

] j Vacas (x) | Gallinas (y) | Total i Num. cabezas ¥ y 20 Num. patas 4x 2y 64

El sistema de ecuaciones es:

x+y=20 4x+2y =64

; el sistema equivalente es: |

X+y=20 2x + y =32

Para resolver el sistema, utilizaremos el método de Cramer:

11 2

D= =1-2=-1

Hallamos el determinante del sistema D,

Hallamos los determinantes Ax y Ay.

Determinante Ax

Determinante Ay

220 Vlus0437==12 ay=| | 2 |232-40=-8 1 2 32

Hallamos los valores de x y y. Valor de x Valor de y Ay xXx=— = , D yori yer = -1 x=12 y=8 Solución

Existen 12 vacas y 8 gallinas en la finca.

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