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Problemas con sistemas de ecuaciones

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Respuesta rápida

Rectas paralelas distintas: no existe solución.
Frutas: $24$ toneladas de maracuyá y $18$ toneladas de melón.
Hotel: $84$ habitaciones dobles y $32$ habitaciones simples.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 7 min lectura

Solución — Página 152

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

Cuando las rectas de un sistema son paralelas y distintas, no existe un punto de intersección; por lo tanto, el sistema no tiene solución. Si las rectas coinciden, existen infinitas soluciones.

Problema de las frutas

Definimos:

$x$ : toneladas de maracuyá.
$y$ : toneladas de melón.

De acuerdo con los tiempos disponibles, el sistema es:

$\begin{cases} 10x+5y=330\\ 30x+10y=900 \end{cases}$

Dividimos la primera ecuación entre $5$ y la segunda entre $10$ :

$\begin{cases} 2x+y=66\\ 3x+y=90 \end{cases}$

Despejamos $y$ en ambas ecuaciones:

$y=66-2x$

$y=90-3x$

Igualamos las expresiones:

$66-2x=90-3x$

Sumamos $3x$ a ambos lados:

$66+x=90$

Por tanto:

$x=24$

Sustituimos este valor en $2x+y=66$ :

$2(24)+y=66$

$y=66-48=18$

Respuesta: la empresa puede exportar trimestralmente $24$ toneladas de maracuyá y $18$ toneladas de melón.

Comprobación

Lavado:

$10(24)+5(18)=240+90=330$

Empacado:

$30(24)+10(18)=720+180=900$

La solución cumple las dos condiciones del problema.

Ejemplo del hotel

Definimos:

$x$ : número de habitaciones dobles.
$y$ : número de habitaciones simples.

El sistema planteado es:

$\begin{cases} x+y=116\\ 2x+y=200 \end{cases}$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$(2x+y)-(x+y)=200-116$

$x=84$

Sustituimos en $x+y=116$ :

$84+y=116$

$y=32$

Respuesta: el hotel tiene $84$ habitaciones dobles y $32$ habitaciones simples.

Comprobación:

$84+32=116$

$2(84)+32=200$

Contenido de la página

Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones

Interpretar el enunciado, identificar los datos y las incógnitas, y asignar variables.
Plantear las ecuaciones correspondientes.
Resolver el sistema e interpretar el resultado.
Comprobar la solución.

La página aplica estos pasos a un problema de producción y exportación de maracuyá y melón. También plantea un sistema para determinar la cantidad de habitaciones dobles y simples de un hotel.

Ejemplos resueltos

Una empresa necesita $10$ horas para lavar una tonelada de maracuyá y $30$ horas para empacarla. Para el melón requiere $5$ horas de lavado y $10$ horas de empacado. Dispone de $330$ horas para lavado y $900$ para empacado. ¿Cuántas toneladas de cada fruta puede exportar?

El sistema es $10x+5y=330$ y $30x+10y=900$ . Al simplificar, queda $2x+y=66$ y $3x+y=90$ . Por igualación, $66-2x=90-3x$ , de donde $x=24$ . Luego, $y=66-2(24)=18$ . Se pueden exportar $24$ toneladas de maracuyá y $18$ toneladas de melón.

Un hotel dispone de $116$ habitaciones, algunas dobles y otras simples. En total hay $200$ camas. ¿Cuántas habitaciones dobles y simples tiene?

Sea $x$ el número de habitaciones dobles y $y$ el número de habitaciones simples. El sistema es $x+y=116$ y $2x+y=200$ . Al restar la primera ecuación de la segunda se obtiene $x=84$ . Entonces $y=116-84=32$ . El hotel tiene $84$ habitaciones dobles y $32$ simples.

Tabla

Proceso	Maracuyá ( $x$ )	Melón ( $y$ )	Tiempo disponible
Lavado	$10x$	$5y$	$330$
Empacado	$30x$	$10y$	$900$

Fórmulas y ecuaciones

Despejar una variable en cada ecuación y luego igualar las expresiones.

La solución de un sistema es el par ordenado $(x,y)$ que satisface ambas ecuaciones.

$\begin{cases}10x+5y=330\\30x+10y=900\end{cases}$

$\begin{cases}2x+y=66\\3x+y=90\end{cases}$

y=66-2x

y=90-3x

x=24

y=18

$\begin{cases}x+y=116\\2x+y=200\end{cases}$

x=84

y=32

Glosario (5)

Incógnita: Cantidad desconocida que se representa mediante una letra, como $x$ o $y$.
Sistema de ecuaciones: Conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Método de igualación: Procedimiento que despeja la misma variable en las ecuaciones y luego iguala las expresiones obtenidas.
Rectas paralelas: Rectas que no se intersectan cuando son distintas; representan un sistema sin solución.
Comprobar: Sustituir los valores encontrados en las ecuaciones para verificar que las cumplen.

Preguntas para practicar

Cuando las rectas que conforman un sistema de ecuaciones son paralelas y distintas, ¿existe solución?

Temas y conceptos clave

Problemas con sistemas de ecuacionesMétodo de igualaciónInterpretación y comprobación de solucionesIncógnitaSistema de ecuacionesRectas paralelasMétodo de igualaciónSolución del sistemaComprobación

Fuentes y referencias

Enlace de competencia digital mostrado en la página: lynk.ec/10m15

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por igualación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué ocurre cuando dos rectas de un sistema son paralelas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se plantean ecuaciones a partir de un problema?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales de primer grado
• Despejar una variable
• Operar con números enteros
• Interpretar datos de un problema

Siguiente tema sugerido

Resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución, reducción y método gráfico

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5 EN EN a $ 2 5 E 3 E al

El Ecuador exporta frutas, lo que representa centenas de millones de dólares.

Do US Recuerda que...

Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones

Interpreta el enunciado, identifica los datos y las incógnitas, asigna una variable.
Plantea las ecuaciones correspondientes.
Resuelve el sistema e interpreta el resultado.
Comprueba la solución.

Ws Competencia digital

Ingresa al siguiente enlace: lynk.ec/10m15

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la página 6 y practica problemas con sistemas de ecuaciones.

Problemas con sistemas de ecuaciones

Reflexiona. Cuando las rectas que conforman el sistema de ecuaciones son paralelas, ¿existe solución?

Nuestro país exporta a otros países una gran variedad de frutas, como maracuyá y melón.

Una empresa necesita 10 horas para lavar el maracuyá y 30 horas para el empacado. Para lavar el melón se requieren 5 horas, y para empacarlo, 10 horas. Si la empresa, en horas por mes, dispone de 330 para lavado y 900 para empacado, ¿cuántas toneladas de fruta se pueden exportar trimestralmente?

Proceso Maracuyá (x) Melón (y) Tiempo

Lavado 10x

Empacado 30x 10y 900

10x+5y =330

El si i i | sistema de ecuaciones es: Meco 900

2x+ y =66 El sistema equivalente es: 3x+ y =90 Para resolver el sistema de ecuaciones, podemos utilizar cualquier método. En este caso, utilizaremos el de igualación. Primero, despejamos la variable y en cada ecuación. ' y= 66 - 2x y=90- 3x Segundo, igualamos las ecuaciones despejadas y encontramos el valor de la incógnita. 66 - 2x = 90 - 3x,x= 24 Tercero, reemplazamos el valor de x en cualquier ecuación. 2(24) + y = 66; y = 66 -48; y = 18 Solución

La empresa puede exportar trimestralmente, 24 toneladas de maracuyá y 18 toneladas de melón.

Ejemplos a) Un hotel dispone de 116 habitaciones, unas con dos camas y otras con una

cama. En total hay 200 camas disponibles. ¿Cuántas habitaciones dobles y sim- ples tiene el hotel?

Definimos las variables y ordenamos los datos en una tabla x: habitaciones dobles, y: habitaciones simples x+y=116

El sistema de ecuaciones es: 2x+ y =200

M.4.1.56. Resolver y plantear problemas, de texto con enunciados que involucren funciones lineales y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.

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