Maritza compró un celular y un computador portátil por \2000. Obtuvo una ganancia total de \260; ganó el 15% en el celular y el 10% en el computador. ¿Cuál fue el costo de cada objeto? ¿Cuál conviene vender si necesita obtener la mayor ganancia?

c=\1200, p=\800; conviene vender el celular

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

4a) Manzana: $\$ 0,60 $; mandarina:$ $0,10$ .
4b) Televisor: $\$ 300 $; lavadora:$ $400$ .
4c) $16$ aciertos y $4$ errores.
4d) Costo fijo: $\$ 10 $; costo por minuto:$ $0,30$ .
4e) $50$ canastas de corta distancia y $10$ de larga distancia.
4f) Tarifa fija: $\$ 10 $; minuto:$ $0,50$ .
4g) Base: $5$ cm; altura: $7$ cm.
4h) Celular: $\$ 1200 $; computador:$ $800$ . Conviene vender el celular por su mayor ganancia.
5a) Helado: $\$ 1 $; batido:$ $3$ .
5b) $10$ cocinas y $9$ refrigeradoras.
6a) Texto: $\$ 13 $; esfero:$ $2$ .
6b) $20$ monedas de $50$ centavos y $20$ monedas de $25$ centavos.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 155

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los problemas

Ejercicio 4

Problemas para resolver con el método de Cramer

a) Sea $m$ el precio de una manzana y $d$ el precio de una mandarina: $5m+4d=5$ $5m+6d=6$ La determinante principal es $D=5\cdot6-5\cdot4=10$ . Además, $D_m=5\cdot6-6\cdot4=6$ y $D_d=5\cdot5-5\cdot5=1$ . Por tanto, $m=\frac{6}{10}=0,60$ y $d=\frac{1}{10}=0,10$ .

b) Sea $t$ el precio de un televisor y $l$ el precio de una lavadora: $2t+l=1000$ $t+l=700$ Con Cramer: $D=2\cdot1-1\cdot1=1$ , $D_t=1000\cdot1-1\cdot700=300$ y $D_l=2\cdot700-1000\cdot1=400$ . Así, $t=300$ y $l=400$ .

c) Sean $a$ los aciertos y $e$ los errores: $a+e=20$ $a-2e=8$ La primera ecuación indica el total de preguntas. Al aplicar Cramer se obtiene $a=16$ y $e=4$ .

d) Sea $f$ el costo fijo y $v$ el costo por minuto: $f+200v=70$ $f+300v=100$ Restando las ecuaciones, $100v=30$ , de donde $v=0,30$ . Luego, $f+200(0,30)=70$ , por lo que $f=10$ .

e) Sean $c$ las canastas de corta distancia y $l$ las de larga distancia: $c+l=60$ $2c+3l=130$ Por Cramer, $c=50$ y $l=10$ . La comprobación es $50+10=60$ canastas y $2(50)+3(10)=130$ puntos.

f) Sea $F$ la tarifa fija y $p$ el precio por minuto: $F+100p=60$ $F+80p=50$ Al restar las ecuaciones se obtiene $20p=10$ , por lo que $p=0,50$ . Sustituyendo: $F+100(0,50)=60$ , entonces $F=10$ .

g) Sea $b$ la base. La altura es $b+2$ . Con el perímetro: $2b+2(b+2)=24$ $4b+4=24$ $b=5$ Por tanto, la altura es $5+2=7$ cm.

h) Sean $c$ el costo del celular y $p$ el costo del computador portátil: $c+p=2000$ $0,15c+0,10p=260$ Multiplicando la segunda ecuación por $10$ : $1,5c+p=2600$ Al restar la primera ecuación, $0,5c=600$ , de donde $c=1200$ . Entonces, $p=2000-1200=800$ .

La ganancia por el celular es $0,15(1200)=180$ dólares. La ganancia por el computador es $0,10(800)=80$ dólares. Si Maritza necesita obtener la mayor ganancia, conviene vender el celular, porque produce una ganancia de $180$ , superior a los $80$ del computador.

Ejercicio 5

Trabajo colaborativo

a) Sea $h$ el precio de un helado y $b$ el precio de un batido: $h+4b=13$ $4h+2b=10$ Resolviendo el sistema por el método más apropiado, se obtiene $h=1$ y $b=3$ . La comprobación es $1+4(3)=13$ y $4(1)+2(3)=10$ .

b) Sea $c$ el número de cocinas y $r$ el número de refrigeradoras: $6c+4r=96$ $5c+6r=104$ Al resolver el sistema se obtiene $c=10$ y $r=9$ . La comprobación es $6(10)+4(9)=96$ horas de corte y $5(10)+6(9)=104$ horas de ensamblaje.

Ejercicio 6

Actividad indagatoria

a) Sea $t$ el precio de un texto y $e$ el precio de un esfero: $2t+5e=36$ $3t+7e=53$ Resolviendo el sistema, $e=2$ y $t=13$ . Por tanto, cada texto cuesta $13$ dólares y cada esfero cuesta $2$ dólares. Se puede resolver, por ejemplo, mediante sustitución y mediante eliminación.

b) Sea $x$ el número de monedas de $50$ centavos y $y$ el número de monedas de $25$ centavos: $x+y=40$ $0,50x+0,25y=15$ Multiplicando la segunda ecuación por $4$ : $2x+y=60$ Restando la primera ecuación, $x=20$ . Luego, $y=40-20=20$ . Hay $20$ monedas de cada valor.

Contenido de la página

Sistemas de ecuaciones en problemas

Para resolver situaciones con dos cantidades desconocidas se definen dos incógnitas y se plantean dos ecuaciones. El método de Cramer utiliza determinantes para hallar el valor de cada incógnita. Después de resolver, es necesario comprobar que los valores cumplen las condiciones del problema.

Fórmulas y ecuaciones

$P=2b+2h$

$\text{ganancia porcentual}=\text{costo}\times\frac{\text{porcentaje}}{100}$

$D=a d-b c$

$x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D}$

$\text{ganancia}=\text{precio de venta}-\text{precio de costo}$

Glosario (5)

Incógnita: Cantidad desconocida que se representa generalmente con una letra.
Sistema de ecuaciones: Conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Determinante: Número calculado a partir de los elementos de una matriz cuadrada.
Método de Cramer: Procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones mediante determinantes.
Ganancia: Diferencia positiva entre el precio de venta y el costo de un producto.

Preguntas para practicar

¿Por qué conviene vender el celular en el problema de Maritza?

¿Qué otros métodos pueden utilizarse para resolver los sistemas de la actividad indagatoria?

¿Cómo se comprueba que una solución satisface las condiciones del problema?

Temas y conceptos clave

Método de CramerSistemas de dos ecuaciones linealesProblemas de precios y tarifasProblemas de producción y conteoAnálisis de gananciasIncógnitaSistema de ecuacionesDeterminante principalRegla de CramerComprobaciónGanancia porcentual

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones por el método de Cramer?

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¿Cómo plantear problemas de precios y tarifas con dos ecuaciones?

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¿Cómo comprobar la solución de un sistema de ecuaciones lineales?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer incógnitas en un problema
• Plantear ecuaciones lineales
• Resolver operaciones con números decimales
• Calcular determinantes de matrices de orden 2
• Verificar soluciones en ecuaciones

Siguiente tema sugerido

Sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas y aplicaciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3485 caracteres

Resuelve los siguientes problemas, utilizando el método de Cramer,

Matías va al mercado y compra 5 manzanas

y 4 mandarinas por $ 5. Si después va Carlos : y compra 5 manzanas y 6 mandarinas por : S 6, ¿cuánto cuesta cada manzana y cada :

mandarina?

En un almacén se venden televisores y lava- * doras. Para las fiestas navideñas, se han rea- ; lizado promociones: dos televisores más una : lavadora cuestan $ 1 000 o un televisor más : : . AN Trabajo colaborativo : Trabajen en equipo y resuelvan.

Resuelvan los siguientes problemas, utilizan-

una lavadora, $ 700. ¿Cuánto cuestan cada te- levisor y cada lavadora?

En una universidad se toman exámenes con : 20 preguntas. Marta ha obteniendo 8 puntos. +: Si cada acierto vale 1 punto y cada error res- : ta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado ;

y fallado Marta?

Por un servicio de telefonía fija una em- ' presa paga un importe fijo más uno varia- a ble por minuto. El mes pasado la empre- : sa pagó $ 70 por 200 minutos y este mes : $ 100 por 300 minutos. ¿Cuál es el costo fijo y '

el precio de cada minuto?

Un equipo de baloncesto anotó 60 canastas : en un partido, logrando así un total de 130 | puntos. Conociendo que en este juego las ca- : nastas desde corta distancia valen 2 puntos y *

E Actividad indagatoria

Indaga dos formas de resolver los siguientes

las de larga distancia 3, ¿cuántas canastas de cada tipo anotaron sus jugadores?

Una compañía de telefonía móvil incluye en ' su tarifa una cantidad fija más el costo por mi- : nuto de llamada. El mes pasado, Diego pagó : una factura de 60 dólares por un consumo: de 100 minutos, mientras que la de este mes : asciende a 50 dólares por un consumo de 80 : minutos. ¿Qué valor tiene la tarifa fija y cuánto :

cuesta un minuto de llamada?

Calcula las dimensiones de un rectángulo | cuya altura mide 2 cm más que su base, si su |

perímetro es de 24 cm.

h) Problema-decisión. Resuelve.

Maritza compró un teléfono celular y un com- putador portátil por 2 000 dólares y, luego, los vendió. Así, obtuvo una ganancia de 260 dólares. ¿Cuánto le costó cada objeto, si en la venta del computador tuvo una ganancia del 10% y en la venta del teléfono ganó el 15 %?

Imagina que eres Maritza y tienes problemas financieros, por lo que debes elegir entre ven- der el celular o el computador. ¿Qué decisión tomarías? Justifica.

do el método que consideren más apropiado.

a) En una cafetería, por un helado y cuatro batidos cobraron $ 13. Otro día, por cua- tro helados y dos batidos cobraron $ 10, ¿Cuánto cuesta cada helado y cada batido?

b) En la empresa El baratón se fabrican dos tipos de productos: cocinas y refrigera- doras. Se sabe que para la producción se sigue el proceso de corte y el proceso de ensamblaje, Si para la cocina se necesitan 6 horas de corte y 5 de ensamblaje, y para la refrigeradora 4 horas de corte y 6 de en- samblaje, ¿cuántas cocinas y refrigeradoras se producirán al mes, sabiendo que se dis- pone de 96 horas para el corte y 104 para el ensamblaje?

problemas.

a) Jesús y Patricia fueron a una librería. Jesús compró 2 textos y 5 esferos por un costo total de $ 36, mientras que, Patricia adqui- rió 3 textos de los que compró Jesús y 7 esferos iguales, por un valor de $ 53. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

b) Andrea ha roto su alcancía y encuentra que tiene 40 monedas en total entre monedas de 50 y 25 centavos. Si en total tiene 15 dólares, ¿cuántas monedas de cada valor tiene?

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