Congruencia de triángulos

Resolución

• a) Falso. Un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos de igual medida, no necesariamente tres.
• b) Verdadero. Un triángulo equilátero tiene sus tres lados de igual medida.
• c) Verdadero. LAL significa lado-ángulo-lado y es un postulado de congruencia.
• d) Falso. AAA permite establecer semejanza, pero no congruencia.
• e) Falso. Un triángulo escaleno tiene sus tres lados y sus tres ángulos de diferente medida.
• f) Verdadero. Dos triángulos equiláteros con igual base tienen los tres lados correspondientes iguales.
• g) Falso. Tener la misma base y ser isósceles no determina necesariamente la misma altura ni los mismos lados iguales.
• h) Verdadero. Si dos triángulos rectángulos tienen sus dos catetos correspondientes iguales, son congruentes por LAL, porque el ángulo comprendido es recto.

Como \triangle ABC es isósceles, sus lados laterales son iguales:

AB \cong AC

Además, AD divide a BC en dos partes iguales:

BD \cong DC

El lado AD es común a los dos triángulos:

AD \cong AD

Por lo tanto, los tres lados correspondientes son congruentes. Se aplica el postulado LLL:

\triangle ABD \cong \triangle ACD

Como AC y EH son medianas:

BC \cong CD \quad \text{y} \quad LH \cong HF

De DB \cong LF se obtiene que sus mitades correspondientes también son congruentes:

DC \cong LH

También se da que:

AB \cong EF \quad \text{y} \quad AC \cong EH

Al comparar los dos triángulos formados por un lado, la mitad de la base y la mediana, se obtiene la igualdad de los lados restantes. Equivalentemente, usando la fórmula de la mediana, los datos AB \cong EF, DB \cong LF y AC \cong EH permiten concluir que:

AD \cong LE

Así, los tres lados correspondientes son iguales:

LE \cong AD, \quad EF \cong AB, \quad LF \cong DB

Por el postulado LLL:

\triangle LEF \cong \triangle ABD

La correspondencia es L \leftrightarrow A, E \leftrightarrow B y F \leftrightarrow D.

RT biseca a los ángulos indicados, por lo que:

\angle QRT \cong \angle TRS

\angle QTR \cong \angle RTS

Además, el lado RT es común:

RT \cong RT

Por el postulado ALA:

\triangle RTQ \cong \triangle RTS

En los triángulos EFG y RTJ:

\angle E = \angle R = 15^\circ

\angle F = \angle T = 131^\circ

El tercer ángulo mide:

180^\circ - 15^\circ - 131^\circ = 34^\circ

Por tanto, \angle G = \angle J = 34^\circ. La correspondencia es:

E \leftrightarrow R, \quad F \leftrightarrow T, \quad G \leftrightarrow J

Así:

\triangle EFG \cong \triangle RTJ

En los triángulos USP y BTF:

\angle U = \angle B = 38^\circ

\angle P = \angle F = 12^\circ

El tercer ángulo mide:

180^\circ - 38^\circ - 12^\circ = 130^\circ

Por tanto, \angle S = \angle T = 130^\circ. La correspondencia es:

U \leftrightarrow B, \quad S \leftrightarrow T, \quad P \leftrightarrow F

Así:

\triangle USP \cong \triangle BTF