Se mezclan clips de plástico de \6 por kilogramo y clips de metal de \4 por kilogramo para obtener 5 kg a \5,4$ por kilogramo. ¿Qué cantidad de cada tipo se debe mezclar?

3,5 kg de plástico y 1,5 kg de metal

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Problemas propuestos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Borrador blanco: $\$ 0{,}75 $; borrador de esfero:$ $0{,}50$ .
$3{,}5$ kg de clips de plástico y $1{,}5$ kg de clips de metal.
3 jaulas y 17 cuyes.
35 respuestas correctas.
50 kg de trigo y 70 kg de maíz.
12 artículos defectuosos.
Los números son 18 y 6.
Los números son 120 y 40.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 161

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Estrategia general

En cada problema se definen variables para las cantidades desconocidas, se plantean dos ecuaciones a partir de los datos y se resuelve el sistema. Finalmente, se verifica que los valores obtenidos cumplan las condiciones del enunciado.

Ejercicio 1

Precio de los borradores

Sea $x$ el precio de un borrador blanco y $y$ el precio de un borrador de esfero.

$3x+2y=3{,}25$ $2x+5y=4$

Multiplicando la primera ecuación por $5$ y la segunda por $2$ :

$15x+10y=16{,}25$ $4x+10y=8$

Restando:

$11x=8{,}25 \Rightarrow x=0{,}75$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$3(0{,}75)+2y=3{,}25$ $2y=1 \Rightarrow y=0{,}50$

Ejercicio 2

Mezcla de clips

Sea $x$ la cantidad de clips de plástico y $y$ la cantidad de clips de metal, en kilogramos.

$x+y=5$

El valor total de la mezcla es $5(5{,}4)=27$ dólares:

$6x+4y=27$

De $y=5-x$ :

$6x+4(5-x)=27$ $2x+20=27$ $x=3{,}5$

Entonces:

$y=5-3{,}5=1{,}5$

Ejercicio 3

Cuyes y jaulas

Sea $j$ el número de jaulas y $c$ el número de cuyes.

Si se colocan 5 cuyes por jaula y sobran 2:

$c=5j+2$

Si se colocan 7 cuyes por jaula, se necesitarían 4 cuyes más:

$c+4=7j$

Sustituyendo $c=5j+2$ :

$5j+2+4=7j$ $6=2j$ $j=3$

Por tanto:

$c=5(3)+2=17$

Ejercicio 4

Preguntas contestadas correctamente

Sea $x$ el número de respuestas correctas. Las respuestas restantes son $50-x$ y restan $0{,}15$ puntos cada una.

$0{,}5x-0{,}15(50-x)=15{,}25$

$0{,}5x-7{,}5+0{,}15x=15{,}25$ $0{,}65x=22{,}75$ $x=35$

Ejercicio 5

Mezcla de trigo y maíz

Sea $x$ la cantidad de kilogramos de trigo y $y$ la cantidad de kilogramos de maíz.

$1{,}2x+0{,}9y=123$ $0{,}6x+0{,}8y=86$

Multiplicando la segunda ecuación por $2$ :

$1{,}2x+1{,}6y=172$

Restando la primera ecuación:

$0{,}7y=49$ $y=70$

Sustituyendo:

$1{,}2x+0{,}9(70)=123$ $1{,}2x=60$ $x=50$

Ejercicio 6

Artículos defectuosos

Sea $x$ el número de artículos defectuosos. Los artículos defectuosos se venden al $90\%$ de $10$ , es decir, a $9$ dólares. Los demás se venden al $150\%$ de $10$ , es decir, a $15$ dólares.

Como el costo total fue $40(10)=400$ dólares y la ganancia fue de $128$ , el ingreso total fue:

$400+128=528$

Se plantea:

$9x+15(40-x)=528$

$9x+600-15x=528$ $-6x=-72$ $x=12$

Ejercicio 7

Dos números

Sea $M$ el número mayor y $m$ el número menor.

La diferencia es la mitad de la suma:

$M-m=\frac{M+m}{2}$

El mayor tiene 6 unidades más que el doble del menor:

$M=2m+6$

Multiplicando la primera ecuación por $2$ :

$2M-2m=M+m$ $M=3m$

Igualando:

$3m=2m+6$ $m=6$ $M=18$

Ejercicio 8

Razón entre dos números

Sea $M$ el número mayor y $m$ el menor. La razón inicial es 3:

$\frac{M}{m}=3 \Rightarrow M=3m$

Después de modificar los números, la razón es 1:

$\frac{M-40}{m+40}=1$

Por tanto:

$M-40=m+40$

Sustituyendo $M=3m$ :

$3m-40=m+40$ $2m=80$ $m=40$ $M=120$

Contenido de la página

Problemas propuestos

La página presenta ocho situaciones problemáticas. Para resolverlas se deben identificar las incógnitas, traducir la información a ecuaciones, resolver el sistema y comprobar que las respuestas tengan sentido.

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Ingreso} = \text{costo} + \text{ganancia}$

$\text{porcentaje de una cantidad}=\frac{\text{porcentaje}}{100}\times\text{cantidad}$

$\text{razón}=\frac{\text{cantidad mayor}}{\text{cantidad menor}}$

$3x+2y=3{,}25$

$2x+5y=4$

$x+y=5$

$6x+4y=27$

$c=5j+2$

$c+4=7j$

$0{,}5x-0{,}15(50-x)=15{,}25$

$1{,}2x+0{,}9y=123$

$0{,}6x+0{,}8y=86$

$9x+15(40-x)=528$

$M-m=\frac{M+m}{2}$

$M=2m+6$

$\frac{M}{m}=3$

$\frac{M-40}{m+40}=1$

Glosario (5)

Sistema de ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
Variable: Símbolo que representa una cantidad desconocida.
Mezcla: Combinación de dos o más materiales o productos.
Ganancia: Cantidad que se obtiene al restar el costo de compra al ingreso por ventas.
Razón: Comparación entre dos cantidades mediante una división.

Temas y conceptos clave

Planteamiento de sistemas de ecuacionesMétodo de eliminaciónProblemas de precios y mezclasPorcentajes y gananciasRazones entre númerosVariableEcuación linealSistema de ecuacionesMétodo de eliminaciónPorcentajeRazónVerificación

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📌 Antes de leer esto

• Definir variables a partir de un problema.
• Plantear ecuaciones lineales.
• Resolver sistemas de dos ecuaciones.
• Operar con números decimales y porcentajes.
• Verificar resultados en el contexto del problema.

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Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2678 caracteres

Problemas propuestos

Hemos comprado 3 borradores blancos y 2 borra- dores de esfero por $ 3,25. Sara compró 2 borrado- res blancos y 5 de los de esfero por $ 4. Determinar el precio de cada clase de borrador.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Carlos, que tiene un bazar, vende unos clips de plás- tico que cuestan $ 6 el kilo, y otros clips de metal que cuestan $ 4 el kilo. Decide mezclarlas y venderlas a $ 5,4 el kilo. Si en total quiere preparar 5 kg, ¿qué can- tidad de cada tipo tendrá que mezclar?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Carla tiene que distribuir los cuyes en las jaulas, pero se desconoce la cantidad de jaulas y de cu- yes. La relación que se conoce es que ,si colocamos 5 cuyes por jaula, faltan 2 cuyes por colocar, mien-

tras que si colocamos 7 cuyes por jaula podríamos comprar 4 cuyes más. ¿Cuántas jaulas y cuyes hay?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Juan José realiza una prueba de 50 preguntas, en la que las respuestas correctas sumaban 0,5 pun- tos y las no contestadas o incorrectas restaban

0,15. Si la nota final fue de 15,25, ¿cuántas pregun- tas se contestaron correctamente?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Un kilogramo de trigo contiene 1,2 lb de carbohi- dratos y 0,6 lb de proteínas, mientras que 1 kg de maíz contiene 0,9 lb de carbohidratos y 0,8 lb de proteínas. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo se necesitan para elaborar un pienso que contenga 123 lb de carbohidratos y 86 lb de proteínas?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

En un almacén hay 40 artículos que se deben vender a $ 10 cada uno, pero como algunos están defectuosos, se venden con una rebaja del 10 % de su precio. El resto se vende al 150 % de su pre-

cio, con lo que se obtiene una ganancia de $ 128. ¿Cuántos artículos estaban defectuosos?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

e) Aplicar la estrategia.

d) Responder,

La diferencia de dos números es la mitad de su suma. El número mayor tiene 6 unidades más que el doble del menor. ¿Cuáles son los números?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. e) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

La razón entre dos números es igual a 3. Si al ma- yor se le resta 40 y al menor se le suma 40, la razón entre ambos sería ahora igual a 1. Determina los números.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

e) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

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