Determina el tipo de solución de cada función de acuerdo con su gráfica.

a) Ninguna raíz real; b) dos raíces reales diferentes; c) una raíz real doble; d) ninguna raíz real.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas

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Respuesta rápida

1. a) Ninguna real; b) Dos reales diferentes; c) Una real doble; d) Ninguna real.

2. a) V, b) F, c) F, d) V, e) V, f) V, g) V.

3. a) $x=2$ , $V(2,0)$ ; b) $x=-4,0$ , $V(-2,-8)$ ; c) $x=2$ , $V(2,0)$ ; d) $x=1$ , $V(1,0)$ ; e) $x=2$ , $V(2,0)$ ; f) sin raíces reales, $V(3,5)$ ; g) $x=-1,6$ , $V\left(\frac{5}{2},-\frac{49}{4}\right)$ ; h) $x=\frac{3}{2}$ , $V\left(\frac{3}{2},0\right)$ .

4. a) $x=0$ y $x=3$ .

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Solución — Página 182

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Tipo de solución según la gráfica

a) La parábola no corta el eje $x$ , por lo tanto tiene dos soluciones complejas y ninguna solución real.
b) La parábola corta el eje $x$ en dos puntos, por lo tanto tiene dos soluciones reales diferentes.
c) La parábola toca el eje $x$ en un solo punto, por lo tanto tiene una solución real doble.
d) La parábola no corta el eje $x$ , por lo tanto tiene dos soluciones complejas y ninguna solución real.

Ejercicio 2

Verdadero o falso

a) Verdadero. $2x^2-3x=0$ es cuadrática porque el mayor exponente de $x$ es $2$ , y es incompleta porque no tiene término independiente.

b) Falso. Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales diferentes, una solución real doble o ninguna solución real.

c) Falso. Una parábola cóncava hacia abajo puede cortar el eje $x$ en dos puntos, tocarlo en uno o no cortarlo, según la posición de su vértice.

d) Verdadero. La gráfica de una función cuadrática $y=ax^2+bx+c$ , con $a\neq 0$ , es una parábola.

e) Verdadero. Si el vértice está en el origen, la función tiene la forma $y=ax^2$ y la raíz $x=0$ es doble.

f) Verdadero. Al factorizar, $x^2-x=x(x-1)$ ; por ello, una de sus raíces es $x=0$ .

g) Verdadero. Una función cuadrática está definida para $x=0$ , por lo que su parábola siempre corta el eje $y$ en el punto $(0,c)$ .

Ejercicio 3

Resolución, vértice y raíces

Parte 3.a

$x^2-4x+4=0$

$x^2-4x+4=(x-2)^2$

$(x-2)^2=0\Rightarrow x=2$

La forma de vértice es $y=(x-2)^2$ , así que el vértice es $V(2,0)$ . La raíz $x=2$ es doble.

Parte 3.b

$2x^2+8x=0$

$2x(x+4)=0$

Por la propiedad del producto nulo:

$2x=0\Rightarrow x=0$

$x+4=0\Rightarrow x=-4$

Completando el cuadrado:

$y=2(x+2)^2-8$

Por tanto, el vértice es $V(-2,-8)$ y las raíces son $x=-4$ y $x=0$ .

Parte 3.c

$3x^2-12x+12=0$

$3(x^2-4x+4)=0$

$3(x-2)^2=0\Rightarrow x=2$

La forma de vértice es $y=3(x-2)^2$ , de modo que $V(2,0)$ . La raíz $x=2$ es doble.

Parte 3.d

$5x^2-10x+5=0$

$5(x^2-2x+1)=0$

$5(x-1)^2=0\Rightarrow x=1$

La forma de vértice es $y=5(x-1)^2$ , así que $V(1,0)$ . La raíz $x=1$ es doble.

Parte 3.e

$4x^2-16x+16=0$

$4(x^2-4x+4)=0$

$4(x-2)^2=0\Rightarrow x=2$

La forma de vértice es $y=4(x-2)^2$ , por lo tanto $V(2,0)$ . La raíz $x=2$ es doble.

Parte 3.f

$(x-3)^2+5=0$

$(x-3)^2=-5$

No existe un número real cuyo cuadrado sea $-5$ . Por ello, no tiene raíces reales. La forma de vértice es $y=(x-3)^2+5$ , con vértice $V(3,5)$ .

Parte 3.g

$x^2-5x-6=0$

$x^2-5x-6=(x-6)(x+1)$

$(x-6)(x+1)=0$

$x=6\quad\text{o}\quad x=-1$

La abscisa del vértice es:

$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{2}$

$y_v=\left(\frac{5}{2}\right)^2-5\left(\frac{5}{2}\right)-6=-\frac{49}{4}$

El vértice es $V\left(\frac{5}{2},-\frac{49}{4}\right)$ y las raíces son $x=-1$ y $x=6$ .

Parte 3.h

$4x^2-12x+9=0$

$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

$(2x-3)^2=0\Rightarrow 2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

La forma de vértice es $y=\left(2x-3\right)^2$ , por lo que $V\left(\frac{3}{2},0\right)$ . La raíz $x=\frac{3}{2}$ es doble.

Ejercicio 4

Método gráfico

Para $3x^2-9x=0$ :

$3x(x-3)=0$

$x=0\quad\text{o}\quad x=3$

La gráfica corta el eje $x$ en $(0,0)$ y $(3,0)$ . Por tanto, las soluciones son $x=0$ y $x=3$ .

Contenido de la página

La página presenta una evaluación formativa sobre funciones y ecuaciones cuadráticas. Se analiza la cantidad de raíces observando los cortes de la parábola con el eje $x$ : dos cortes indican dos raíces reales diferentes, un solo contacto indica una raíz real doble y ningún corte indica que no existen raíces reales.

También se repasan las características de las ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, la relación entre el vértice y las raíces, la factorización y el uso del método gráfico para hallar soluciones.

Ejemplos resueltos

Resolver $x^2-4x+4=0$ y determinar el vértice.

$x^2-4x+4=(x-2)^2$ , por lo tanto $(x-2)^2=0$ y $x=2$ . La forma de vértice es $y=(x-2)^2$ , así que el vértice es $V(2,0)$ .

Resolver $3x^2-9x=0$ mediante la interpretación gráfica.

$3x^2-9x=3x(x-3)$ , por lo que las raíces son $x=0$ y $x=3$ . La parábola corta el eje $x$ en $(0,0)$ y $(3,0)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$y_v=f(x_v)$

$(x-r_1)(x-r_2)=0\Rightarrow x=r_1\ \text{o}\ x=r_2$

$y=ax^2+bx+c$

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$2x^2-3x=0$

$x^2-4x+4=0$

$3x^2-9x=0$

Glosario (5)

Raíz: Valor de $x$ que hace que una ecuación cuadrática sea igual a cero.
Raíz doble: Solución que se repite dos veces y corresponde al punto donde la parábola toca el eje $x$.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Parábola: Gráfica de una función cuadrática de la forma $y=ax^2+bx+c$, con $a\neq 0$.
Ecuación cuadrática incompleta: Ecuación cuadrática en la que falta el término independiente, el término lineal o ambos.

Preguntas para practicar

¿Qué relación existe entre las raíces de una ecuación cuadrática y los cortes de su parábola con el eje $x$?

¿Cómo se puede reconocer una raíz doble observando una gráfica?

¿Por qué una parábola cóncava hacia abajo puede tener dos raíces reales?

Temas y conceptos clave

Tipos de solución de una función cuadráticaVerdadero y falso sobre ecuaciones cuadráticasResolución y factorización de ecuaciones cuadráticasVértice de una parábolaMétodo gráficoRaíces reales diferentesRaíz real dobleAusencia de raíces realesParábolaVérticeFactorizaciónProducto nulo

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