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Solución de la ecuación cuadrática por el método de factorización

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Respuesta rápida

Tiempo de caída: $1\text{ s}$ . Para determinarlo, se iguala la altura a cero, se factoriza la ecuación y se descarta la solución negativa.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 184

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Idea principal

Para resolver una ecuación cuadrática por factorización se iguala la expresión a cero, se factoriza y se aplica la propiedad del producto nulo: si $A\cdot B=0$ , entonces $A=0$ o $B=0$ .

Ejemplo: tiempo de caída de una pelota

La altura está dada por:

$y=-t^2-3t+4$

Cuando la pelota llega al suelo, $y=0$ :

$0=-t^2-3t+4$

Multiplicamos toda la ecuación por $-1$ :

$t^2+3t-4=0$

Factorizamos:

$t^2+3t-4=(t+4)(t-1)$

Entonces:

$(t+4)(t-1)=0$

Igualamos cada factor a cero:

$t+4=0 \quad \text{o} \quad t-1=0$

De donde:

$t=-4 \quad \text{o} \quad t=1$

Aunque ambas soluciones satisfacen la ecuación, el tiempo no puede ser negativo. Por eso, el tiempo de caída de la pelota es:

$t=1\text{ s}$

Formas de factorización mostradas

Si la ecuación es de la forma $ax^2+bx+c=0$ , se busca factorizar el trinomio.
Si la ecuación es de la forma $ax^2+bx=0$ , se extrae el factor común $x$ .
Si la ecuación es de la forma $ax^2+c=0$ , puede reconocerse una diferencia de cuadrados después de reorganizarla.

Siempre se deben verificar las soluciones y considerar las condiciones del problema.

Contenido de la página

Saberes previos

Para determinar el tiempo de caída de un objeto se puede utilizar una ecuación cuadrática que relacione la altura con el tiempo.

Situación planteada

Una pelota se lanza desde una altura de $4\text{ m}$ con una velocidad inicial de $3\text{ m/s}$ . Su altura está representada por $y=-t^2-3t+4$ . Para encontrar cuándo toca el suelo, se establece $y=0$ .

Procedimiento

Igualar la ecuación a cero.
Multiplicar por $-1$ si es necesario.
Factorizar la ecuación cuadrática.
Igualar cada factor a cero.
Verificar las soluciones y escoger la que cumpla las condiciones del problema.

Ejemplos de formas factorizables

$x(x+5)=24$ se transforma en $x^2+5x-24=0$ y luego en $(x+8)(x-3)=0$ , con soluciones $x=-8$ y $x=3$ .
$5x^2+2x=0$ se factoriza como $x(5x+2)=0$ , con soluciones $x=0$ y $x=-\frac{2}{5}$ .
$4x^2=25$ se transforma en $4x^2-25=0$ y se factoriza como $(2x+5)(2x-5)=0$ , con soluciones $x=-\frac{5}{2}$ y $x=\frac{5}{2}$ .

Ejemplos resueltos

Una pelota se lanza desde una ventana ubicada a $4\text{ m}$ de altura. Su altura, en metros, está dada por $y=-t^2-3t+4$ . ¿Cuál es el tiempo de caída?

$y=0$ , por lo tanto $0=-t^2-3t+4$ . Multiplicando por $-1$ : $t^2+3t-4=0$ . Factorizando: $(t+4)(t-1)=0$ . Así, $t=-4$ o $t=1$ . Como el tiempo no puede ser negativo, la respuesta es $t=1\text{ s}$ .

Resolver $x(x+5)=24$ .

Reorganizamos: $x^2+5x-24=0$ . Factorizamos: $(x+8)(x-3)=0$ . Entonces $x+8=0$ o $x-3=0$ , de donde $x=-8$ o $x=3$ .

Resolver $5x^2+2x=0$ .

Extraemos el factor común: $x(5x+2)=0$ . Por el producto nulo, $x=0$ o $5x+2=0$ . En el segundo caso, $5x=-2$ y $x=-\frac{2}{5}$ .

Resolver $4x^2=25$ .

Reorganizamos: $4x^2-25=0$ . Es una diferencia de cuadrados: $(2x+5)(2x-5)=0$ . Por tanto, $2x+5=0$ o $2x-5=0$ , y las soluciones son $x=-\frac{5}{2}$ y $x=\frac{5}{2}$ , que también pueden escribirse como $x=\pm\frac{5}{2}$ .

Tabla

Forma de ecuación	Método principal	Resultado mostrado
$ax^2+bx+c=0$	Factorizar el trinomio	$x=-8$ y $x=3$
$ax^2+bx=0$	Extraer factor común	$x=0$ y $x=-\frac{2}{5}$
$ax^2+c=0$	Usar diferencia de cuadrados	$x=-\frac{5}{2}$ y $x=\frac{5}{2}$

Fórmulas y ecuaciones

$ax^2+bx+c=0$

$ax^2+bx=0$

$ax^2+c=0$

$A\cdot B=0 \Rightarrow A=0 \text{ o } B=0$

$y=-t^2-3t+4$

$0=-t^2-3t+4$

$t^2+3t-4=0$

(t+4)(t-1)=0

x(x+5)=24

$x^2+5x-24=0$

(x+8)(x-3)=0

$5x^2+2x=0$

x(5x+2)=0

$4x^2=25$

$4x^2-25=0$

(2x+5)(2x-5)=0

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado que puede escribirse como $ax^2+bx+c=0$, con $a\ne 0$.
Factorización: Procedimiento para expresar una suma o diferencia algebraica como un producto de factores.
Producto nulo: Propiedad según la cual si un producto es igual a cero, al menos uno de sus factores es igual a cero.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $A^2-B^2$, que se factoriza como $(A+B)(A-B)$.

Preguntas para practicar

¿Cómo determinas el tiempo de caída de un objeto?

¿Por qué el control de los gastos ayuda a tener una economía sana?

Temas y conceptos clave

Solución de ecuaciones cuadráticas por factorizaciónAplicación de ecuaciones cuadráticas al movimiento de objetosVerificación y selección de solucionesEcuación cuadráticaFactorizaciónProducto nuloTrinomio cuadráticoFactor comúnDiferencia de cuadradosRestricciones de las soluciones

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¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización?

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¿Por qué se descartan las soluciones negativas en un problema de tiempo?

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¿Cómo se factoriza una diferencia de cuadrados?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Productos notables
• Factorización de expresiones algebraicas
• Resolución de ecuaciones lineales

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Resolución de ecuaciones cuadráticas por completación de cuadrados

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Tema 3

Ubicación del lanzamiento.

2 ¿Sabías que?

Al obtener la solución de una ecuación, siempre debes verificar que efectivamente es la solución.

No todas las soluciones de una ecuación cumplen con las condiciones del problema, como sucede en el caso de la pelota.

ES Competencia

socioemocional En economía y finanzas, los números negativos

expresan pérdidas o saldos en contra.

Responde: ¿por qué el control de los gastos ayuda a tener una economía sana?

Solución de la ecuación cuadrática por el método de factorización

Indaga. ¿Cómo determinas el tiempo de caída de un objeto?

Existen muchos problemas sobre movimiento de objetos que se solucionan por medio de una ecuación cuadrática.

Por ejemplo, se lanza desde una ventana de un dormitorio, ubicado a 4 m de altura, una pelota con una velocidad inicial de 3 m/s. La altura y, en metros, en función del tiempo t, en segundos, está dada por y =- t? - 3t + 4, ¿Cuál es el tiempo de caída de la pelota?

Solución

La ecuación que tenemos que resolver es: y =- t? - 3t + 4; como la pelota golpea el suelo, entonces y = 0.

Para encontrar la solución del problema de la pelota, se procede así: Igualamos a cero la ecuación cuadrática: 0 = - t?- 3t +4 Multiplicamos por (-1) toda la ecuación: t?+ 3t-4=0

Factorizamos el primer miembro de la ecuación como un trinomio de la forma: xX? + OX+C

(t + 4)(t- 1) = 0 igualamos cada factor a cero:t+4=Oyt-1=0 Despejamos el valor de t en cada ecuación: t=-4 y t= 1

Por sustitución, en la ecuación general podemos ver que t=-4 y t= 1 satisfacen la ecuación, pero en este problema la solución es t = 1 s, ya que no existen tiempos negativos.

El tiempo de caída de la pelota es de 1 s.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas que se resuelve por factorización.

Siax?+bx=0 x(x + 5) = 24 c=0 4x? =25 x?+5x-24=0 5x? + 2x=0 4x?-25=0 (x + 8)(x — 3)= 0 x(5x+ 2) =0 (2x + 5)(2x - 5) =0 (x+8) =0 y x =0 2x+5=0 (x-3)=0 5x+2=0; 2x-5=0 =- = =- 5 5 x,=-8yx,=3 5x 1) Hos Xx) =-= nr 5 — Las soluciones Las soluciones Las soluciones de la ecuación de la ecuación de la ecuación son: son: x, =-8yx,=3 son:x, = Oy qe xy 1,=3 o puede escribirse como: x = *

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M.4.1.59. Resolver la ecuación de segundo grado con una incógnita de manera analítica (por factoreo, completación de cuadrados, en la solución de problemas).

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