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François Viète (1540-1603), matemático francés; impulsor del álgebra simbólica.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Método por completar el trinomio cuadrado perfecto

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Respuesta rápida

a) $x_1=2+\sqrt{\frac{5}{2}}$ y $x_2=2-\sqrt{\frac{5}{2}}$ .

b) $x_1=4$ y $x_2=2$ .

François Viète fue un matemático francés que impulsó el uso de letras en el álgebra y el estudio general de las ecuaciones.

Las comunidades indígenas conservan sus lenguas, tradiciones, conocimientos ancestrales, organización comunitaria y relación respetuosa con la naturaleza.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 185

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Método de completar el trinomio cuadrado perfecto

Para resolver una ecuación cuadrática mediante este método, primero se procura que el coeficiente de $x^2$ sea $1$ . Después se suma a ambos miembros el término $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ , con lo cual se forma un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo a

Resolver:

$2x^2-8x+3=0$

Dividimos toda la ecuación para $2$ :

$x^2-4x+\frac{3}{2}=0$

$x^2-4x=-\frac{3}{2}$

Tomamos el coeficiente de $x$ , lo dividimos para $2$ y elevamos al cuadrado:

$\left(\frac{-4}{2}\right)^2=(-2)^2=4$

Sumamos $4$ a ambos miembros:

$x^2-4x+4=-\frac{3}{2}+4$

Factorizamos y simplificamos:

$(x-2)^2=\frac{5}{2}$

Extraemos la raíz cuadrada:

$x-2=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}$

Despejamos $x$ :

$x_1=2+\sqrt{\frac{5}{2}},\qquad x_2=2-\sqrt{\frac{5}{2}}$

Ejemplo b

Resolver:

$x^2-6x+8=0$

Restamos $8$ en ambos miembros:

$x^2-6x=-8$

Sumamos $\left(\frac{-6}{2}\right)^2=9$ a ambos miembros:

$x^2-6x+9=-8+9$

$x^2-6x+9=1$

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:

$(x-3)^2=1$

Extraemos la raíz cuadrada y despejamos:

$x-3=\pm\sqrt{1}=\pm1$

Por tanto:

$x_1=4,\qquad x_2=2$

Verificación:

Para $x=4$ :

$4^2-6(4)+8=16-24+8=0$

Para $x=2$ :

$2^2-6(2)+8=4-12+8=0$

Las dos soluciones satisfacen la ecuación.

Investigación interdisciplinaria

Ficha bibliográfica de François Viète:

Nombre: François Viète.
Nacimiento y fallecimiento: $1540$ - $1603$ .
Nacionalidad: Francesa.
Ocupación: Matemático, jurista y político.
Aporte principal: Introdujo el uso sistemático de letras para representar cantidades conocidas y desconocidas en el álgebra. Sus trabajos ayudaron a desarrollar la forma general de las ecuaciones y las relaciones entre sus coeficientes y raíces.

Investigación intercultural

Las comunidades indígenas se caracterizan por conservar sus lenguas, tradiciones, conocimientos ancestrales, formas propias de organización y vínculos comunitarios. También mantienen una relación estrecha con la naturaleza, practican la transmisión oral de saberes y participan en actividades colectivas como la minga.

Contenido de la página

Idea principal

Una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c=0$ puede resolverse completando un trinomio cuadrado perfecto. Para aplicar directamente el procedimiento, el coeficiente de $x^2$ debe ser $1$ .

El término que se suma a ambos miembros es:

$\left(\frac{b}{2}\right)^2$

Al agregarlo, el lado izquierdo se transforma en un cuadrado de binomio, por ejemplo:

$x^2-6x+9=(x-3)^2$

Luego se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros y se despeja la variable.

François Viète fue un matemático francés relacionado con la representación general de las ecuaciones mediante letras.

Las comunidades indígenas conservan prácticas educativas, sociales, culturales y científicas ancestrales.

Ejemplos resueltos

Resolver $2x^2-8x+3=0$ por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

Al dividir para $2$ se obtiene $x^2-4x=-\frac{3}{2}$ . Se suma $4$ , porque $\left(\frac{-4}{2}\right)^2=4$ , y resulta $(x-2)^2=\frac{5}{2}$ . Por tanto, $x=2\pm\sqrt{\frac{5}{2}}$ .

Hallar las raíces de $x^2-6x+8=0$ .

Se obtiene $x^2-6x=-8$ . Al sumar $9=\left(\frac{-6}{2}\right)^2$ queda $(x-3)^2=1$ . Entonces $x-3=\pm1$ , de donde $x_1=4$ y $x_2=2$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\left(\frac{b}{2}\right)^2$

$x^2-2px+p^2=(x-p)^2$

$x-3=\pm\sqrt{1}$

$ax^2+bx+c=0$

$\left(@@MATH_0@@\right)^2$

$2x^2-8x+3=0$

$(x-2)^2=$ $\frac{5}{2}$

$x^2-6x+8=0$

$(x-3)^2=1$

Glosario (5)

Ecuación cuadrática: Igualdad algebraica cuyo mayor exponente de la variable es $2$.
Trinomio cuadrado perfecto: Trinomio que puede expresarse como el cuadrado de un binomio.
Completar cuadrados: Procedimiento que consiste en añadir un término para transformar una expresión en un cuadrado perfecto.
Raíz de una ecuación: Valor de la variable que hace verdadera la igualdad.
Minga: Trabajo comunitario y colaborativo practicado tradicionalmente por varios pueblos indígenas.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario que el coeficiente de $x^2$ sea $1$ antes de completar el cuadrado?

¿Cómo se verifica que las raíces encontradas satisfacen una ecuación cuadrática?

¿Qué relación existe entre los saberes ancestrales y la ciencia?

Temas y conceptos clave

Método de completar el trinomio cuadrado perfectoResolución de ecuaciones cuadráticasAportes de François VièteCaracterísticas de las comunidades indígenasEcuación cuadráticaCoeficiente principalTrinomio cuadrado perfectoRaíz cuadradaSoluciones de una ecuaciónÁlgebra simbólicaSaberes ancestrales

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se completa un trinomio cuadrado perfecto?

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¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por completar cuadrados?

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¿Cuáles fueron los aportes de François Viète al álgebra?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros y fracciones
• Propiedades de la igualdad
• Productos notables
• Factorización de trinomios cuadrados perfectos
• Extracción de raíces cuadradas

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Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2242 caracteres

Método por completar el trinomio cuadrado perfecto

Existen expresiones algebraicas que no pueden ser factorizadas fácilmente. En estos casos podemos encontrar las raíces completando trinomios cuadrados perfectos. Que consiste en transformar ecuaciones cuadráticas de la forma ax + bx + c=0 en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, se verifica que el coeficiente de x? sea uno (a = 1). Luego, se suma a los dos miembros de la ecuación

2 la expresión: 2

Ejemplos

Resolver la ecuación 2x? — 8x + 3 = 0 por el método de completar T.C.P.

3 Dividimos toda la ecuación para 2: x? - 4x = $ Tomamos el coeficiente de x, dividimos para 2 y elevamos al cuadrado. 4+2=2; 2=4

Sumamos el valor de 4 a los dos miembros de la ecuación: 3 ie 44

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del primer miembro y reducimos

2 términos: (x -2) "> 7 . . 5 Sacamos la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación: x -2= me

Finalmente, obtenemos las soluciones: x, = 2 P y X= 2- E

Hallar las raíces de la ecuación: x? - 6x + 8 = 0. Primero: se resta 8 en ambos lados de la igualdad. En este caso, no se divide para a, porque a=1.

X%-6x+8-8=0-8 2

b ] ; Segundo: se suma (2 en ambos lados; y se realiza la potencia.

R-6x+9=-8+9 R-6x+9=1 Tercero: se factoriza: (x — 3)? = 1 Cuarto: se obtiene la solución. x-3= +V1 Entonces: xy =4 yx, =2

Quinto: se verifica las soluciones: . Las dos soluciones satisfacen

2-6x+8=0 2-6x+8=0 a la ecuación cuadrática. (4)2-6(4) + 8=0 (2? - 6(2)+8=0 0=0 0=0

G83 Interdisciplinariedad

Matemática e Historia

Francois Viéte (1540-1603, Francia)

Fue un matemático francés que consideró las ecuaciones cuadráticas de la manera general,

ax? + bx +c =0, donde a, by cson cantidades conocidas. Gracias

a esto, es posible escribir la formula cuadratica para resolver ecuaciones de este tipo.

Indaga sobre Francois Viéte y confecciona una ficha bibliográfica.

Y Interculturalidad

En la actualidad, muchas comunidades indígenas continúan recreando sus prácticas educativas ancestrales que permiten conocer, no solo sus aspectos sociopolíticos y socioculturales,

sino también sus conocimientos de ciencia.

Indaga y responde: ¿qué aspectos caracterizan a las comunidades indígenas?

Dr. Manuel, Wikimedia Commons

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