Factoriza las doce expresiones cuadráticas indicadas de la a) a la l).

(x+1)(x+2); (x+2)(x-1); (x-2)(x+1); (x-1)(x-2); (2x+1)(x-2); (3x-2)(2x-1); (3x+5)(5x-3); (x+3)^2; (5x+6)(4x-3); (4x-3)(4x+3); -(4x+3)(x+3); -(2x+3)(x-3)

Resuelve las ecuaciones de la a) a la q) por factorización.

a) \3,-1\; b) \-3/4,3/2\; c) \-6,6\; d) \9/4\; e) \-4±6\; f) \-4,5\; g) \1/2,1\; h) \2,3\; i) \1/2,3\; j) \2,5\; k) \-2,-1\; l) \2,6\; m) \-2,-1\; n) \2,6\; o) \-1/2,2\; p) \1/2,2/3\; q) \-5/3,3/5\

Encuentra las soluciones de las ocho ecuaciones completando el cuadrado.

a) \0,8\; b) \2-2,2+2\; c) en R; d) \0,6/25\; e) \0,10\; f) \-5,3\; g) \-13,12\; h) \-1,4\

Despeja la variable indicada en las fórmulas de energía cinética, gravitación universal, movimiento y área.

a) v=2E/m; b) d=gmM/F; c) t=2d/a; d) r=A/

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Factorización, ecuaciones cuadráticas y despeje de variables

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Respuesta rápida

a) $(x+1)(x+2)$ ; b) $(x+2)(x-1)$ ; c) $(x-2)(x+1)$ ; d) $(x-1)(x-2)$ ; e) $(2x+1)(x-2)$ ; f) $(3x-2)(2x-1)$ ; g) $(3x+5)(5x-3)$ ; h) $(x+3)^2$ ; i) $(5x+6)(4x-3)$ ; j) $(4x-3)(4x+3)$ ; k) $-(4x+3)(x+3)$ ; l) $-(2x+3)(x-3)$ .
a) $3,-1$ ; b) $-\frac{3}{4},\frac{3}{2}$ ; c) $\pm6$ ; d) $\frac{9}{4}$ ; e) $-4\pm\sqrt6$ ; f) $5,-4$ ; g) $\frac12,1$ ; h) $2,3$ ; i) $\frac12,3$ ; j) $2,5$ ; k) $-1,-2$ ; l) $2,6$ ; m) $-1,-2$ ; n) $2,6$ ; o) $-\frac12,2$ ; p) $\frac23,\frac12$ ; q) $-\frac53,\frac35$ .
a) $1$ ; b) $-3,3$ ; c) $-1,5$ .
a) $0,8$ ; b) $2\pm\sqrt2$ ; c) no tiene solución real; d) $0,\frac{6}{25}$ ; e) $0,10$ ; f) $-5,3$ ; g) $-13,12$ ; h) $-1,4$ .
a) $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ ; b) $d=\sqrt{\frac{gmM}{F}}$ ; c) $t=\sqrt{\frac{2d}{a}}$ ; d) $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ .

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Solución — Página 186

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Factorización

Aplicamos productos notables y búsqueda de factores:

a) $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$ .
b) $x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$ .
c) $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ .
d) $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ .
e) $2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2)$ .
f) $6x^{2}-7x+2=(3x-2)(2x-1)$ .
g) $15x^{2}+16x-15=(3x+5)(5x-3)$ .
h) $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$ .
i) $20x^{2}+9x-18=(5x+6)(4x-3)$ .
j) $16x^{2}-9=(4x-3)(4x+3)$ .
k) $-4x^{2}-15x-9=-(4x+3)(x+3)$ .
l) $-2x^{2}+3x+9=-(2x+3)(x-3)$ .

Ejercicio 2

Resolución por factorización

Se iguala cada factor a cero:

a) $2x^{2}-4x-6=2(x-3)(x+1)=0$ . Soluciones: $x=3$ y $x=-1$ .
b) $x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{9}{8}$ . Multiplicando por $8$ : $8x^{2}-6x-9=(4x+3)(2x-3)=0$ . Soluciones: $x=-\frac{3}{4}$ y $x=\frac{3}{2}$ .
c) $x^{2}-36=(x-6)(x+6)=0$ . Soluciones: $x=6$ y $x=-6$ .
d) $16x-36=0\Rightarrow x=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$ .
e) $(x+4)^{2}=6\Rightarrow x+4=\pm\sqrt{6}$ . Soluciones: $x=-4\pm\sqrt{6}$ .
f) $x^{2}-x=20\Rightarrow x^{2}-x-20=(x-5)(x+4)=0$ . Soluciones: $x=5$ y $x=-4$ .
g) $4x^{2}-6x+2=2(2x-1)(x-1)=0$ . Soluciones: $x=\frac{1}{2}$ y $x=1$ .
h) $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0$ . Soluciones: $x=2$ y $x=3$ .
i) $2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)=0$ . Soluciones: $x=\frac{1}{2}$ y $x=3$ .
j) $-x^{2}+7x-10=-(x-5)(x-2)=0$ . Soluciones: $x=5$ y $x=2$ .
k) $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)=0$ . Soluciones: $x=-1$ y $x=-2$ .
l) $-x^{2}+8x-12=-(x-2)(x-6)=0$ . Soluciones: $x=2$ y $x=6$ .
m) $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)=0$ . Soluciones: $x=-1$ y $x=-2$ .
n) $-x^{2}+8x-12=-(x-2)(x-6)=0$ . Soluciones: $x=2$ y $x=6$ .
o) $2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2)=0$ . Soluciones: $x=-\frac{1}{2}$ y $x=2$ .
p) $6x^{2}-7x+2=(3x-2)(2x-1)=0$ . Soluciones: $x=\frac{2}{3}$ y $x=\frac{1}{2}$ .
q) $15x^{2}+16x-15=(3x+5)(5x-3)=0$ . Soluciones: $x=-\frac{5}{3}$ y $x=\frac{3}{5}$ .

Ejercicio 3

Solución mediante gráfica

Los puntos donde cada parábola corta el eje $x$ son las soluciones:

a) $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0$ . Solución: $x=1$ .
b) $2x^{2}-18=2(x-3)(x+3)=0$ . Soluciones: $x=-3$ y $x=3$ .
c) $-x^{2}+4x+5=-(x-5)(x+1)=0$ . Soluciones: $x=-1$ y $x=5$ .

Ejercicio 4

Completación del cuadrado

a) $x^{2}-8x=0$ . Sumamos $16$ : $(x-4)^{2}=16$ , por tanto $x=0$ o $x=8$ .
b) $x^{2}-4x+2=0\Rightarrow (x-2)^{2}=2$ . Soluciones: $x=2\pm\sqrt{2}$ .
c) $9x^{2}+5x=-\frac{9}{4}$ . Al completar el cuadrado se obtiene $\left(3x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{9}$ . Como el cuadrado no puede ser negativo en los números reales, no existe solución real.
d) $25x^{2}-6x=0$ . Factorizamos: $x(25x-6)=0$ . Soluciones: $x=0$ y $x=\frac{6}{25}$ .
e) $x^{2}-10x=0\Rightarrow x(x-10)=0$ . Soluciones: $x=0$ y $x=10$ .
f) $x^{2}+2x-15=0\Rightarrow (x+5)(x-3)=0$ . Soluciones: $x=-5$ y $x=3$ .
g) $2x^{2}+2x+1=313\Rightarrow x^{2}+x-156=0\Rightarrow (x+13)(x-12)=0$ . Soluciones: $x=-13$ y $x=12$ .
h) $x^{2}-3x-4=0\Rightarrow (x-4)(x+1)=0$ . Soluciones: $x=4$ y $x=-1$ .

Ejercicio 5

Despeje de variables

a) $E=\frac{mv^{2}}{2}$ . Multiplicamos por $2$ : $2E=mv^{2}$ . Dividimos para $m$ y extraemos raíz: $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ .
b) $F=\frac{gmM}{d^{2}}$ . Despejando: $Fd^{2}=gmM$ , luego $d^{2}=\frac{gmM}{F}$ y $d=\sqrt{\frac{gmM}{F}}$ .
c) Si la velocidad inicial es $0$ , entonces $d=\frac{1}{2}at^{2}$ . Por tanto, $2d=at^{2}$ y $t=\sqrt{\frac{2d}{a}}$ .
d) $A=\pi r^{2}$ . Dividimos para $\pi$ : $r^{2}=\frac{A}{\pi}$ ; entonces $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ .

Contenido de la página

Factorización

Una expresión cuadrática puede escribirse como producto de factores. Para resolver una ecuación factorizada se aplica la propiedad del producto nulo: si $ab=0$ , entonces $a=0$ o $b=0$ .

Gráficas

Las soluciones de una ecuación cuadrática son las abscisas de los puntos donde su parábola corta el eje $x$ .

Completación del cuadrado

Se transforma un trinomio cuadrático en un binomio al cuadrado para encontrar sus soluciones.

Despeje

Para despejar una variable se aplican operaciones inversas manteniendo la igualdad.

Fórmulas y ecuaciones

Propiedad del producto nulo: $ab=0\Rightarrow a=0$ o $b=0$ .

Velocidad despejada: $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ .

Distancia despejada: $d=\sqrt{\frac{gmM}{F}}$ .

Radio despejado: $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ .

$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

E= $\frac{mv^{2}}{2}$

F= $\frac{gmM}{d^{2}}$

d= $\frac{1}{2}$ $at^{2}$

$A=\pi$ $r^{2}$

Glosario (4)

Factor: Cada expresión que se multiplica para formar un producto.
Raíz: Valor de la variable que hace verdadera una ecuación.
Parábola: Gráfica de una función cuadrática.
Discriminante: Expresión $b^{2}-4ac$ que permite determinar el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.

Preguntas para practicar

¿Por qué las intersecciones de una parábola con el eje $x$ representan las soluciones de una ecuación cuadrática?

¿Qué significa que una ecuación cuadrática no tenga solución real?

¿Qué operaciones inversas se utilizan para despejar una variable?

Temas y conceptos clave

FactorizaciónEcuaciones cuadráticasGráficas de parábolasCompletación del cuadradoDespeje de variablesTrinomio cuadráticoDiferencia de cuadradosProducto nuloRaíces de una ecuaciónParábolaCompletación del cuadradoDespeje algebraico

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