a) Hallar el área y el perímetro del triángulo de la figura cuando x=10 cm. b) Hallar el número cuyo triple aumentado en cuatro es igual a su cuadrado. c) Hallar el número cuyo doble es tres veces menor que su cuadrado. d) Hallar el número cuyo quíntuplo aumentado en 14 es igual a su cuadrado.

a) A=36 cm^2, P=37 cm; b) x=4,-1; c) x=0,6; d) x=7,-2

Resolver por factorización las ecuaciones cuadráticas propuestas en los literales a) a g).

a) y=9±37; b) x=±7; c) x=1,4/5; d) x=±9/2; e) y=3/4,-4/3; f) x=6,-7; g) x=8,-3/5

Resolver los problemas sobre un número, números consecutivos y edades.

a) x=0,8; b) (2,3) o (-3,-2); c) J=5, S=8, D=10 años

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución de problemas y ecuaciones cuadráticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

6. a) $A=36\ \text{cm}^2$ , $P=37\ \text{cm}$ ; b) $x=4,-1$ ; c) $x=0,6$ ; d) $x=7,-2$ .

7. a) $x=1,2$ ; b) $x=-4,-2$ ; c) $x=-1,5$ .

8. a) $y=9\pm3\sqrt{7}$ ; b) $x=\pm7$ ; c) $x=1,\frac{4}{5}$ ; d) $x=\pm\frac{9}{2}$ ; e) $y=\frac{3}{4},-\frac{4}{3}$ ; f) $x=6,-7$ ; g) $x=8,-\frac{3}{5}$ .

9. a) $x=0,-12$ ; b) no hay soluciones reales; c) $x=0,-16$ ; d) $x=-12\pm\sqrt{142}$ ; e) no hay soluciones reales.

10. a) $x=0,8$ ; b) $2$ y $3$ o $-3$ y $-2$ ; c) Juan $5$ años, Sebastián $8$ años y Darwin $10$ años.

11. $r=\sqrt{\frac{24}{\pi}}\approx2,76\ \text{cm}$ .

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Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 6

Resolución de problemas

Parte 6.a

Área y perímetro del triángulo

Para $x=10\ \text{cm}$ , las medidas de los lados son:

$x-4=6\ \text{cm},\qquad x+2=12\ \text{cm},\qquad 2x-1=19\ \text{cm}$

Área del triángulo rectángulo:

$A=\frac{1}{2}(x-4)(x+2)=\frac{1}{2}(6)(12)=36\ \text{cm}^2$

Perímetro:

$P=(x-4)+(x+2)+(2x-1)=6+12+19=37\ \text{cm}$

Parte 6.b

Número cuyo triple aumentado en cuatro es igual a su cuadrado

$x^2=3x+4$

$x^2-3x-4=0$

$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$

Por tanto, $x=4$ o $x=-1$ .

Parte 6.c

Número cuyo doble es tres veces menor que su cuadrado

$x^2=3(2x)$

$x^2-6x=0$

$x(x-6)=0$

Por tanto, $x=0$ o $x=6$ .

Parte 6.d

Número cuyo quíntuplo aumentado en $14$ es igual a su cuadrado

$x^2=5x+14$

$x^2-5x-14=0$

$\left(x-7\right)\left(x+2\right)=0$

Por tanto, $x=7$ o $x=-2$ .

Ejercicio 7

Soluciones observadas en las gráficas

Las soluciones de una función cuadrática son las coordenadas $x$ de los puntos donde la parábola corta al eje $x$ .

a) La parábola corta al eje $x$ en $A=(1,0)$ y $B=(2,0)$ ; por eso, las soluciones son $x=1$ y $x=2$ .
b) La parábola corta al eje $x$ en $A=(-4,0)$ y $B=(-2,0)$ ; por eso, las soluciones son $x=-4$ y $x=-2$ .
c) La parábola corta al eje $x$ en $A=(-1,0)$ y $B=(5,0)$ ; por eso, las soluciones son $x=-1$ y $x=5$ .

Ejercicio 8

Ecuaciones por factorización

Parte 8.a

$y^2=18y+18$

$y^2-18y-18=0$

Aplicando la fórmula cuadrática:

$y=\frac{18\pm\sqrt{18^2+72}}{2}=9\pm3\sqrt{7}$

Parte 8.b

$x^2-49=0$

$\left(x-7\right)\left(x+7\right)=0$

Entonces, $x=7$ o $x=-7$ .

Parte 8.c

$15x^2+12=27x$

$15x^2-27x+12=0$

$3\left(5x^2-9x+4\right)=0$

$3(5x-4)(x-1)=0$

Entonces, $x=\frac{4}{5}$ o $x=1$ .

Parte 8.d

$4x^2-81=0$

$\left(2x-9\right)\left(2x+9\right)=0$

Entonces, $x=\frac{9}{2}$ o $x=-\frac{9}{2}$ .

Parte 8.e

$-12=-12y^2-7y$

$12y^2+7y-12=0$

$\left(3y-?\right)$

Usando la fórmula cuadrática:

$y=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(12)(-12)}}{24}=\frac{-7\pm25}{24}$

Entonces, $y=\frac{3}{4}$ o $y=-\frac{4}{3}$ .

Parte 8.f

$x^2-42=-x$

$x^2+x-42=0$

$\left(x+7\right)\left(x-6\right)=0$

Entonces, $x=-7$ o $x=6$ .

Parte 8.g

$5x^2-37x-24=0$

$\left(5x+3\right)\left(x-8\right)=0$

Entonces, $x=-\frac{3}{5}$ o $x=8$ .

Ejercicio 9

Ecuaciones mediante trinomios cuadrados perfectos

Parte 9.a

$x^2+12x=0$

$x(x+12)=0$

Por tanto, $x=0$ o $x=-12$ .

Parte 9.b

$64x^2-3x+\frac{7}{4}=0$

El discriminante es:

$\Delta=(-3)^2-4(64)\left(\frac{7}{4}\right)=9-448=-439$

Como el discriminante es negativo, no existen soluciones reales. En los números complejos:

$x=\frac{3\pm i\sqrt{439}}{128}$

Parte 9.c

$x^2+16x=0$

$x(x+16)=0$

Por tanto, $x=0$ o $x=-16$ .

Parte 9.d

$x^2+24x=-2$

$x^2+24x+144=142$

$\left(x+12\right)^2=142$

$x=-12\pm\sqrt{142}$

Parte 9.e

$36x^2-22x+40=0$

$\Delta=(-22)^2-4(36)(40)=484-5760=-5276$

Como el discriminante es negativo, no existen soluciones reales.

Ejercicio 10

Resolución de problemas

Parte 10.a

Número cuyo cuádruple es dos veces menor que su cuadrado

$x^2=2(4x)$

$x^2-8x=0$

$x(x-8)=0$

Entonces, $x=0$ o $x=8$ .

Parte 10.b

Dos números consecutivos cuyo producto es $6$

Sea $x$ el primer número y $x+1$ el consecutivo:

$x(x+1)=6$

$x^2+x-6=0$

$\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0$

Los pares posibles son $(2,3)$ y $(-3,-2)$ . Si se consideran números naturales, la respuesta es $2$ y $3$ .

Parte 10.c

Edades de Juan y sus hermanos

Sea $x$ la edad de Juan. Entonces, Sebastián tiene $x+3$ años y Darwin tiene $x+5$ años.

$\left(x+3\right)\left(x+5\right)=80$

$x^2+8x+15=80$

$x^2+8x-65=0$

$\left(x-5\right)\left(x+13\right)=0$

Como una edad no puede ser negativa, $x=5$ . Por tanto, Juan tiene $5$ años, Sebastián $8$ años y Darwin $10$ años.

Ejercicio 11

Área de un círculo

La fórmula del área es:

$A=\pi r^2$

Sustituyendo $A=24\ \text{cm}^2$ :

$24=\pi r^2$

$r=\sqrt{\frac{24}{\pi}}\approx2,76\ \text{cm}$

Contenido de la página

La página propone ejercicios de aplicación de ecuaciones cuadráticas. Se trabaja con áreas y perímetros, números desconocidos, gráficas de parábolas, factorización, completación de cuadrados, problemas de edades y números consecutivos.

Una ecuación cuadrática puede escribirse como $ax^2+bx+c=0$ , con $a\neq0$ . Sus soluciones representan los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad. En una gráfica, corresponden a los puntos donde la parábola corta al eje $x$ .

Para una ecuación $ax^2+bx+c=0$ , el discriminante es:

$\Delta=b^2-4ac$

Si $\Delta>0$ , existen dos soluciones reales; si $\Delta=0$ , existe una solución real doble; y si $\Delta<0$ , no existen soluciones reales.

Ejemplos resueltos

Determinar las soluciones de $x^2-49=0$ .

$x^2-49=(x-7)(x+7)=0$ , por lo tanto $x=7$ o $x=-7$ .

Calcular el radio de un círculo cuya área es $24\ \text{cm}^2$ .

$24=\pi r^2$ , de donde $r=\sqrt{\frac{24}{\pi}}\approx2,76\ \text{cm}$ .

Fórmulas y ecuaciones

Área del triángulo rectángulo: $A=\frac{bh}{2}$

Fórmula cuadrática: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Área del círculo: $A=\pi r^2$

$x^2=3x+4$

$x^2=5x+14$

$ax^2+bx+c=0$

$\Delta=b^2-4ac$

$A=\pi$ $r^2$

Glosario (5)

Ecuación cuadrática: Igualdad algebraica cuyo mayor exponente de la variable es dos.
Raíz: Valor de la variable que satisface una ecuación o punto donde una parábola corta al eje $x$.
Discriminante: Expresión $b^2-4ac$ que permite determinar la cantidad de soluciones reales de una ecuación cuadrática.
Factorización: Transformación de una expresión en un producto de factores.
Radio: Segmento que une el centro de un círculo con cualquier punto de su circunferencia.

Preguntas para practicar

¿Por qué las raíces de una función cuadrática son los puntos donde la parábola corta al eje $x$?

¿Qué indica un discriminante negativo?

¿Cómo se puede comprobar una solución de una ecuación cuadrática?

Temas y conceptos clave

Problemas modelados con ecuaciones cuadráticasSoluciones de funciones cuadráticas mediante gráficasFactorizaciónCompletación de cuadradosAplicaciones de las ecuaciones cuadráticasÁrea de un círculoRaíces o solucionesEcuación cuadráticaFactorizaciónDiscriminanteTrinomio cuadrado perfectoParábolaRadio de un círculo

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas por factorización?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se encuentran las raíces de una parábola en una gráfica?

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¿Cómo se aplica una ecuación cuadrática a problemas de edades?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Propiedad distributiva
• Productos notables
• Factorización
• Fórmula cuadrática
• Interpretación de puntos en el plano cartesiano

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Discriminante y representación gráfica de funciones cuadráticas

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Resuelve los siguientes problemas. HI Trabajo colaborativo

a) ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo ¿ Trabajen en equipo y resuelvan. rectángulo de la figura? Si x = 10 cm. : 8. Resuelvan en sus cuadernos las siguientes : ecuaciones cuadraticas por factorizacion.

a) y?=18y+18

ue : b) x?-49=0 O A x+2 | d) 4x?-81=0 pe b) ¿Cuál es el número cuyo triplo aumentado en : e) -12=-12y’-7y A cuatro es igual a su cuadrado? : | pests

: g) 5x?-37x-24=0 £) ¿Qué número multiplicado por dos es tres i

veces menor que su cuadrado? F 2 9. Encuentren la solución de las ecuaciones

completando trinomios cuadrados perfectos.

d) ¿Cuáles el número cuyo quíntuplo aumentado : a) *+12x=0 en 14 es igual a su cuadrado? :

b) 64 3x42 =0

Determina las soluciones de las siguientes E ce) x’ +16x=0 funciones cuadráticas. i W 2422 a) e) 36x?=22x+40=0
Resuelvan los problemas.

a) ¿Qué número multiplicado por cuatro es dos veces menor que su cuadrado?

b) El producto de dos números consecutivos es 6, ¿Cuáles son esos números?

e) Juan tiene dos hermanos: Sebastián y Darwin. Sebastián es 3 años mayor que Juan y Darwin 5 años mayor. Se sabe que el producto de las edades de los herma- nos mayores es 80. ¿Qué edad tiene cada hermano?

| y | H Actividad indagatoria 5 A=(-1,0) de