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Ecuaciones cuadráticas. Fórmula general

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Respuesta rápida

La fórmula general es $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . En el problema del terreno, las soluciones son $x_1\approx16,29$ y $x_2\approx-4,30$ ; se acepta $x\approx16,29$ m.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 188

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Idea principal

Una ecuación cuadrática tiene la forma $ax^2+bx+c=0$ , donde $a\neq 0$ . Si no puede factorizarse fácilmente, se utiliza la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

La expresión $D=b^2-4ac$ se llama discriminante y permite conocer el tipo de soluciones:

Si $D=0$ , existen dos soluciones reales iguales.
Si $D>0$ , existen dos soluciones reales diferentes.
Si $D<0$ , no existen soluciones reales.

Resolución del problema del terreno

Si $x$ representa la medida de cada lado del terreno, su área es $x^2$ . La condición del problema se expresa como:

$12x+70=x^2$

Llevamos todos los términos a un mismo lado:

$x^2-12x-70=0$

Por comparación con $ax^2+bx+c=0$ , se obtiene:

$a=1,\qquad b=-12,\qquad c=-70$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4(1)(-70)}}{2(1)}$

Calculamos el discriminante:

$D=(-12)^2-4(1)(-70)=144+280=424$

Entonces:

$x=\frac{12\pm\sqrt{424}}{2}\approx\frac{12\pm20,59}{2}$

Las dos soluciones son:

$x_1=\frac{12+20,59}{2}\approx16,29$

$x_2=\frac{12-20,59}{2}\approx-4,30$

Como una longitud no puede ser negativa, se descarta $x_2$ . Por lo tanto, cada lado del terreno mide aproximadamente $16,29$ metros.

Obtención de la fórmula general

Partimos de:

$ax^2+bx+c=0$

Dividimos toda la ecuación para $a$ :

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Completamos el cuadrado sumando $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ en ambos lados:

$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$

El lado izquierdo es un cuadrado perfecto:

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Al extraer la raíz cuadrada y despejar $x$ , se obtiene:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Contenido de la página

Fórmula general

Para resolver una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ , se utiliza:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Discriminante

El discriminante es $D=b^2-4ac$ .

$D=0$ : dos soluciones reales iguales.
$D>0$ : dos soluciones reales diferentes.
$D<0$ : no hay soluciones reales.

Aplicación

El problema del terreno se modela mediante $x^2-12x-70=0$ . Al aplicar la fórmula general se obtiene $x\approx16,29$ o $x\approx-4,30$ . Por tratarse de una longitud, la respuesta válida es $16,29$ metros.

Obtención

La fórmula general se obtiene al dividir $ax^2+bx+c=0$ para $a$ , completar el cuadrado y despejar $x$ .

Ejemplos resueltos

Patricio desea cercar un terreno cuadrangular. Al multiplicar la medida de cada lado por $12$ y sumar $70$ , obtiene el área del terreno. ¿Cuánto mide cada lado?

Se plantea $12x+70=x^2$ , que equivale a $x^2-12x-70=0$ . Con $a=1$ , $b=-12$ y $c=-70$ , la fórmula general produce $x_1\approx16,29$ y $x_2\approx-4,30$ . Se descarta la solución negativa porque representa una longitud. Cada lado mide aproximadamente $16,29$ m.

Tabla

Discriminante	Tipo de soluciones
$D=0$	Dos soluciones reales iguales
$D>0$	Dos soluciones reales diferentes
$D<0$	No existen soluciones reales

Fórmulas y ecuaciones

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$D=b^2-4ac$

x= $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$D=b^2-4ac$

$12x+70=x^2$

$x^2-12x-70=0$

$\left(x+@@MATH_0@@\right)^2=$ $\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado que puede escribirse como $ax^2+bx+c=0$, con $a\neq0$.
Discriminante: Expresión $D=b^2-4ac$ que permite determinar el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.
Raíz: Valor de la incógnita que hace verdadera una ecuación.
Trinomio cuadrático perfecto: Expresión que puede escribirse como el cuadrado de un binomio.

Preguntas para practicar

¿Por qué se descarta una solución negativa cuando la incógnita representa una longitud?

¿Qué información proporciona el discriminante antes de resolver una ecuación cuadrática?

Temas y conceptos clave

Fórmula generalDiscriminanteResolución de ecuaciones cuadráticasCompletar el cuadradoEcuación cuadráticaCoeficiente cuadráticoCoeficiente linealTérmino independienteDiscriminanteRaíces de una ecuación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica la fórmula general en una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué indica el discriminante de una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver operaciones con números enteros
• Identificar los coeficientes de una ecuación cuadrática
• Calcular raíces cuadradas
• Despejar una incógnita

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Aplicación de la fórmula general en problemas y análisis de las raíces

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2 ¿Sabías que?

La fórmula general sirve para resolver todas las ecuaciones cuadráticas y las soluciones pueden no ser números reales

o complejos.

ye eNO! = Aac

2a Donde:

a: es coeficiente del término cuadrático.

b: es el coeficiente del término lineal.

ces el coeficiente del término independiente.

La expresión que se encuentra bajo el

radical se denomina discriminante y su análisis permite determinar el tipo de soluciones de la ecuación cuadrática sin necesidad de resolverla, asf:

D=b*-4ac

se denomina discriminante de la ecuación. Se presentan estos casos:

D=0, existen

dos soluciones reales iguales.

D>0, existen dos soluciones reales diferentes.

D<0, la ecuación no tiene soluciones reales.

Ecuaciones cuadráticas. Fórmula general

4/. Desequilibrio cognitivo

Indaga. ¿Cómo resolverías una ecuación cuadrática no factorable?

Patricio quiere cercar un terreno y necesita conocer cuál es la medida de cada lado de un terreno cuadrangular, si al multiplicarlo por 12 le sobran 70 unidades para ser igual a su área. Planteemos la ecuación que modela el problema:

12x+70=x? x?-12x-70=0

La ecuación no es factorable, por lo tanto, resolveremos utilizando la fórmula general.

Identificamos los coeficientes de la ecuación:

a=1,b=-12 y c=-70, reemplazamos en la fórmula general

q —(-12) + (12) - 4(1)(-70)

12+20,59 x= == 2 x ae = 16,29 ;x, = Mes oe 4 =-4,3

Descartamos la solución negativa, ya que no satisface el problema.

Cada lado del terreno mide 16,29 metros.

Obtención de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

Podemos utilizar la técnica de completar el T.C.P. para obtener la fórmula general que determine las raíces de la ecuación cuadrática ax? + bx +c =0.

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