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Ejemplos de aplicación de ecuaciones cuadráticas

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Aproximadamente, $13,97$ y $14,97$ , o $-14,97$ y $-13,97$ .

b) Ancho: $10\text{ m}$ . Largo: $43\text{ m}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 189

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejemplo a: números consecutivos

Sean $x$ y $x+1$ dos números consecutivos. Según el enunciado:

$x^2+(x+1)^2=420$

Desarrollamos el cuadrado:

$x^2+x^2+2x+1=420$

Reunimos todos los términos en un lado:

$2x^2+2x-419=0$

Aplicamos la fórmula general $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , con $a=2$ , $b=2$ y $c=-419$ :

$x=\frac{-2\pm\sqrt{(2)^2-4(2)(-419)}}{2(2)}$

Por tanto, aproximadamente:

$x_1=\frac{-2+57,9}{4}\approx 13,97$

$x_2=\frac{-2-57,9}{4}\approx -14,97$

Los pares de números consecutivos son aproximadamente $13,97$ y $14,97$ , o $-14,97$ y $-13,97$ .

Ejemplo b: terreno rectangular

Sea $x$ el ancho del terreno. Como el largo mide $3$ metros más que cuatro veces el ancho, el largo es $4x+3$ .

El área de un rectángulo se calcula con $A=b\times h$ :

$x(4x+3)=430$

Desarrollamos y ordenamos:

$4x^2+3x=430$

$4x^2+3x-430=0$

Aplicamos la fórmula general con $a=4$ , $b=3$ y $c=-430$ :

$x=\frac{-3\pm\sqrt{(3)^2-4(4)(-430)}}{2(4)}$

$x=\frac{-3\pm83}{8}$

Las soluciones son:

$x_1=\frac{-3+83}{8}=10$

$x_2=\frac{-3-83}{8}=-10,75$

Se descarta $x_2$ porque una longitud no puede ser negativa. Entonces, el ancho es $10$ metros y el largo es:

$4(10)+3=43\text{ m}$

Las dimensiones del terreno son $10\text{ m}$ de ancho y $43\text{ m}$ de largo.

Idea complementaria

Si el radicando $b^2-4ac$ es negativo, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. En ese caso, sus soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos y contienen una raíz imaginaria.

Contenido de la página

Fórmula general

Para resolver una ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ , se utiliza:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

El valor $b^2-4ac$ se llama discriminante. Si es positivo, existen dos soluciones reales; si es cero, existe una solución real doble; y si es negativo, las soluciones son complejas.

Aplicación 1: números consecutivos

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos se representa como $x^2+(x+1)^2$ . Al igualarla a $420$ , se obtiene la ecuación $2x^2+2x-419=0$ .

Aplicación 2: área rectangular

Si el ancho es $x$ y el largo es $4x+3$ , el área se expresa como $x(4x+3)$ . Para un área de $430\text{ m}^2$ , se obtiene $4x^2+3x-430=0$ . La solución válida es $x=10$ , por lo que las dimensiones son $10\text{ m}$ y $43\text{ m}$ .

Interculturalidad

La página menciona que las políticas educativas ecuatorianas buscan una educación de calidad y reconocen la cultura y las vivencias de los pueblos y nacionalidades.

Competencia digital

Se recomienda consultar el enlace indicado en la página para conocer más ejercicios.

Ejemplos resueltos

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es $420$ . ¿Cuáles son esos números?

Se plantean los números como $x$ y $x+1$ . Entonces $x^2+(x+1)^2=420$ , que conduce a $2x^2+2x-419=0$ . Con la fórmula general se obtienen aproximadamente $x=13,97$ y $x=-14,97$ . Los pares son aproximadamente $13,97$ y $14,97$ , o $-14,97$ y $-13,97$ .

El área de un terreno rectangular es $430\text{ m}^2$ . El largo mide $3$ metros más que cuatro veces el ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Si el ancho es $x$ , el largo es $4x+3$ . Se plantea $x(4x+3)=430$ , equivalente a $4x^2+3x-430=0$ . Las soluciones son $10$ y $-10,75$ . Se descarta la negativa; por tanto, el ancho es $10\text{ m}$ y el largo es $43\text{ m}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$A=b\times h$

$\Delta=b^2-4ac$

$x^2+(x+1)^2=420$

$2x^2+2x-419=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x(4x+3)=430$

$4x^2+3x-430=0$

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Igualdad algebraica de segundo grado que puede escribirse como $ax^2+bx+c=0$, con $a\ne0$.
Discriminante: Expresión $b^2-4ac$ que permite determinar el tipo y la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática.
Números consecutivos: Números que se encuentran uno después del otro en la recta numérica, como $x$ y $x+1$.
Número complejo: Número que puede incluir una parte imaginaria y que aparece, por ejemplo, cuando el discriminante es negativo.

Temas y conceptos clave

Aplicación de ecuaciones cuadráticasResolución mediante la fórmula generalNúmeros consecutivosProblemas de áreasRaíces reales y complejasEcuación cuadráticaFórmula generalDiscriminanteNúmeros consecutivosÁrea del rectánguloSoluciones negativasNúmeros complejos

Fuentes y referencias

Enlace indicado en la página: lynk.ec/10m17

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Figuras de la página (1)

Recuadro de interculturalidad sobre las políticas educativas ecuatorianas y el reconocimiento de las culturas de pueblos y nacionalidades. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática con la fórmula general?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo plantear un problema de área como una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que el discriminante sea negativo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Productos notables y desarrollo de cuadrados
• Resolución de ecuaciones
• Cálculo del área de un rectángulo

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas y análisis del discriminante

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Ejemplos:

a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 420. ¿Cuáles son esos números?

Solución

La ecuación cuadrática es: x2 + (x + 1)? = 420.

Realizamos las operaciones necesarias: x2 + x2 + 2x + 1 = 420 2x? + 2x-419=0

Encontramos las soluciones utilizando la formula general. a=2,b=2,c=-419

y E +b? - 4ac y. JOY = 4(2)(-419) 2a “

2(2) -2+57,9 X=——— 4 -2+57,9 -2-57,9 y — O 4 4

X,=13,97;x, =-14,97

Los números son: 13,97 y 14,97, o también -14,97 y -13,97

b) El área de un terreno rectangular es de 430 m?, Si el largo es 3 m más que 4 veces el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

Solución El área de un rectángulo es igual a b x h, por lo tanto: Base: 4x + 3; altura: x La ecuación es x(4x + 3)= 430 Operando: 4x2 + 3x=430; 4x?+ 3x-430=0 Resolviendo la ecuación por la fórmula general: a = 4, b = 3, c =-430 a -b+ Vb? -4ac _ -3 + (3) — 4(4)(-430) 2a ‘ 2(4) -3 +83 x= 8 -3+83. -3-83 i= ¡X= 8 8 X,=10;x, =-10,75

Descartamos la solución negativa; el ancho del terreno es 10 metros, y el largo es 4x + 3, es decir, 43 metros.

2 ¿Sabías que?

Cuando las raíces dentro de la fórmula son negativas, no existe solución dentro de

los números reales. La solución está en los números complejos,

es decir, la raíz es imaginaria.

$ Interculturalidad

En el Ecuador, las políticas educativas, para el bienestar

de los pueblos y nacionalidades,

han procurado una educación de calidad y reconocen la cultura de los pueblos para lograr aprendizajes en torno a sus vivencias culturales y modos de vida.

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