Explica la diferencia entre congruencia y semejanza.

Congruencia: misma forma y tamaño; semejanza: misma forma y lados proporcionales.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Teorema de Thales

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Respuesta rápida

• Congruencia: misma forma y tamaño. Semejanza: misma forma, pero el tamaño puede variar.

• Distancia entre la gasolinera y el redondel El Colibrí: $1625\ \text{m}$ .

• Segmento $AC$ : aproximadamente $4,44$ unidades.

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Solución — Página 192

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

La congruencia ocurre cuando dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño. La semejanza ocurre cuando dos figuras tienen la misma forma, pero pueden presentar diferente tamaño; sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales.

Aplicación del teorema de Thales

En el esquema de las avenidas, las calles $A$ y $B$ son paralelas. Por el teorema de Thales, los segmentos correspondientes son proporcionales:

$\frac{MP}{PR}=\frac{MT}{TZ}$

Sustituyendo los datos:

$\frac{400}{1300}=\frac{500}{x}$

Despejamos $x$ :

$400x=500\cdot1300$

$x=\frac{500\cdot1300}{400}=1625$

Por lo tanto, la distancia entre la gasolinera y el redondel El Colibrí es de $1625\ \text{m}$ .

Ejemplo con dos paralelas

Como $\overline{BC}\parallel\overline{DE}$ , se cumple:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

Reemplazamos $AD=18$ , $AB=4$ y $AE=20$ :

$\frac{18}{4}=\frac{20}{x}$

Despejamos $x$ :

$18x=20\cdot4$

$x=\frac{20\cdot4}{18}=\frac{40}{9}\approx4,44$

Así, el segmento $AC$ mide aproximadamente $4,44$ unidades.

Contenido de la página

Proporción y razón

Dos segmentos son proporcionales cuando sus razones son iguales. La razón entre dos segmentos se obtiene al dividir sus longitudes.

Teorema particular de Thales

Se refiere a los segmentos proporcionales determinados por dos rectas paralelas.

Primer enunciado

Si se traza una línea paralela a uno de los lados de un triángulo, se obtiene un triángulo semejante al triángulo original.

Segundo enunciado

Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice hasta los puntos de intersección son proporcionales entre sí.

Tercer enunciado

Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, las paralelas son entre sí como los segmentos medios desde el vértice hasta las paralelas.

Ejemplos resueltos

En el esquema de las avenidas, $MP=400\ \text{m}$ , $PR=1300\ \text{m}$ , $MT=500\ \text{m}$ y $TZ=x$ . Calcula $x$ .

$\frac{400}{1300}=\frac{500}{x}$

$x=\frac{500\cdot1300}{400}=1625$

La distancia desconocida es $1625\ \text{m}$ .

Si $\overline{BC}\parallel\overline{DE}$ , $AD=18$ , $AE=20$ y $AB=4$ , calcula $AC$ .

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

$\frac{18}{4}=\frac{20}{x}$

$x=\frac{20\cdot4}{18}\approx4,44$

Por tanto, $AC\approx4,44$ unidades.

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{\text{segmento correspondiente 1}}{\text{segmento correspondiente 2}}$ = $\frac{\text{otro segmento correspondiente 1}}{\text{otro segmento correspondiente 2}}$

$\frac{MP}{PR}$ = $\frac{MT}{TZ}$

$\frac{400}{1300}$ = $\frac{500}{x}$

x= $\frac{500\cdot1300}{400}$ =1625

$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$

$\frac{18}{4}$ = $\frac{20}{x}$

x= $\frac{20\cdot4}{18}$ $\approx4,44$

Glosario (5)

Proporción: Igualdad entre dos razones o comparación entre cantidades que mantienen la misma relación.
Razón: Resultado de comparar dos cantidades mediante una división.
Semejanza: Relación entre figuras con la misma forma, cuyos lados correspondientes son proporcionales.
Congruencia: Relación entre figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Paralelas: Rectas de un mismo plano que nunca se intersecan.

Preguntas para practicar

¿Por qué las rectas paralelas permiten establecer proporciones entre segmentos?

¿En qué situaciones de la vida diaria se puede aplicar el teorema de Thales?

Temas y conceptos clave

Teorema de ThalesSemejanza de triángulosSegmentos proporcionalesRazón y proporciónRectas paralelasDos segmentos son proporcionales cuando tienen la misma razón.Una recta paralela a un lado de un triángulo forma un triángulo semejante al original.Los segmentos determinados por dos paralelas en los lados de un ángulo son proporcionales.Las longitudes deben compararse mediante segmentos correspondientes.La semejanza conserva la forma, pero no necesariamente el tamaño.

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Figuras de la página (2)

Triángulo RMZ con una recta paralela a la base que determina segmentos proporcionales en sus lados. — Figura 2 image

Ángulo cuyos lados son cortados por dos rectas paralelas en los puntos B, C, D y E. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué establece el teorema de Thales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula una longitud desconocida usando rectas paralelas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer segmentos y rectas paralelas
• Resolver proporciones
• Aplicar la regla de tres
• Identificar triángulos semejantes

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Aplicaciones del teorema de Thales y cálculo de factores de escala

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Tema 5

Intersección de avenidas.

Teorema de Thales.

Teorema de Thales

(E) Saberes previos

Reflexiona. ¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza?

En un plano de la ciudad de Sangolquí se ve que la calle A es paralela a la calle B. Se

ae tés aprecia que las calles se unen en rendondeles y forman un triángulo. Si en el plano

se borró la distancia entre la gasolinera y el redondel El Colibrí, ¿cómo puedes Calcular dicha distancia?

Teorema particular de Thales o fundamental de semejanza

Se refiere a los segmentos proporcionales que son determinados por dos paralelas. Existen tres enunciados.

Primer enunciado |

| Sise traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo se obtiene

¡como resultado un triángulo semejante el triángulo original.

Para responder la pregunta, realizamos un esquema del mapa llamando x a la distancia desconocida.

Aplicando el teorema:

LO sabías quer La calle A es paralela a la calle B, entonces,

Proporción. Dos segmentos son proporcionales cuando su razón es la misma.

Razón. También

conocida como relación

de dos segmentos, es el resultado de dividir la longitud de esos dos segmentos.

Simbología matemática m= Paralela

AB= Segmento AB AB

== = Segmento AB CD

proporcional al segmento CD.

MP _ MT. 400 _500 _ 500-1300 ees —; x==— x =1 625 PR TZ 1300. x 400

Solución

La distancia entre la gasolinera y el redondel es de 1 625 m.

| Segundo enunciado

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son L proporcionales entre sí.

Ejemplo Si BC||DE y AD =18,AE =20 y AB=4, ¿cuál es el valor del segmento AC?

BC IDE entonces 4D. AE, ae re AB AC 4 x 18

El segmento AC mide 4,44 unidades.

Tercer enunciado

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, estas son entre sí como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas.

M.4.2.5. Definir e identificar figuras geométricas semejantes, de acuerdo a las medidas de los ángulos y a la relación entre las medidas de los lados, determinando el factor de

escala entre las figuras (teorema de Thales).

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