Teorema general de Thales

Teorema general de Thales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados en las transversales son proporcionales. Por ello, pueden establecerse proporciones como:

\frac{\overline{AC}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{DF}},\qquad \frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BF}},\qquad \frac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{DF}}

Ejemplo inicial

Se conocen \overline{AB}=10, \overline{BD}=14 y \overline{BC}=4. Primero se calcula:

\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=10+14=24

Por el teorema de Thales:

\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}

Sustituyendo los valores:

\frac{x}{4}=\frac{24}{10}

Entonces:

x=\frac{24\cdot 4}{10}=9,6

Por tanto, \overline{DE}=9,6 unidades.

Ejemplo a

Las rectas L_1, L_2 y L_3 son paralelas. Los segmentos correspondientes miden 5\ \text{cm} y 4\ \text{cm} en una transversal, y 2\ \text{cm} y x en la otra.

\frac{5}{2}=\frac{4}{x}

Al despejar:

5x=8\quad\Rightarrow\quad x=\frac{8}{5}=1,6\ \text{cm}

Para calcular y se usa la proporción entre los segmentos correspondientes:

\frac{4}{1,6}=\frac{y}{8}

y=\frac{4\cdot 8}{1,6}=20\ \text{cm}

Ejemplo b

Como BE\parallel DC, se aplica el teorema de Thales. Primero:

\overline{AD}=\overline{AE}+\overline{ED}=4+8=12\ \text{cm}

Luego:

\frac{x}{6}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{12}{4}=3

Por tanto:

x=6\cdot 3=18\ \text{cm}

La longitud de \overline{AC} es 18\ \text{cm}.

Ejemplo c

Se plantea la proporción entre los triángulos semejantes:

\frac{x+1,10}{x}=\frac{3}{1,75}

Al multiplicar cruzado:

1,75(x+1,10)=3x

1,75x+1,925=3x

1,25x=1,925

x\approx 1,5\ \text{m}

Así, la distancia buscada es aproximadamente 1,5\ \text{m}.