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Aplicaciones del teorema de Thales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5a) $x=24$ dm, $y=8$ dm. 5b) $11,67$ m aproximadamente. 5c) $EF=\frac{72}{17}$ cm $\approx 4,24$ cm. 6a) $x=54$ cm. 6b) $x=44$ cm. 6c) $x=108$ cm. 7a) $488,89$ m aproximadamente, según la interpretación de distancias acumuladas del gráfico. 7b) $x=52,5$ cm. 8) Cada parte mide $\frac{10}{7}$ cm $\approx 1,43$ cm.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 195

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Teorema de Thales

Cuando varias rectas paralelas cortan dos rectas transversales, los segmentos correspondientes son proporcionales:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Ejercicio 5

Resolución de problemas

Parte 5.a

Repisa

Los segmentos correspondientes cumplen:

$\frac{12}{4}=\frac{x}{8}=\frac{24}{y}$

Para hallar $x$ :

$\frac{12}{4}=\frac{x}{8}$

$3=\frac{x}{8}\quad\Rightarrow\quad x=24\text{ dm}$

Para hallar $y$ :

$\frac{12}{4}=\frac{24}{y}$

$3=\frac{24}{y}\quad\Rightarrow\quad y=8\text{ dm}$

Parte 5.b

Altura del edificio

Los triángulos formados por el edificio y el árbol son semejantes. Por tanto:

$\frac{h}{21}=\frac{5}{9}$

Despejando $h$ :

$h=\frac{21\cdot 5}{9}=\frac{35}{3}\text{ m}\approx 11,67\text{ m}$

La altura del edificio es aproximadamente $11,67$ m.

Parte 5.c

Segmento $EF$

Las rectas $L_1$ , $L_2$ y $L_3$ son paralelas, así que los segmentos correspondientes son proporcionales:

$\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{AB}$

Sustituyendo los datos:

$\frac{EF}{18}=\frac{8}{34}$

$EF=\frac{18\cdot 8}{34}=\frac{72}{17}\text{ cm}\approx 4,24\text{ cm}$

El enunciado aplicado es el teorema de Thales.

Ejercicio 6

Encuentra $x$

Parte 6.a

Como $DE\parallel BC$ , los triángulos $ADE$ y $ABC$ son semejantes:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

$\frac{60}{120}=\frac{54}{54+x}$

$\frac{1}{2}=\frac{54}{54+x}$

$54+x=108\quad\Rightarrow\quad x=54\text{ cm}$

Parte 6.b

Los triángulos $AFD$ y $ACB$ son semejantes. Como $AD=60$ cm, $AB=120$ cm:

$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$

Entonces el segmento correspondiente también duplica a $FD$ :

$x=BC=2\cdot FD=2\cdot 22=44\text{ cm}$

Parte 6.c

Se tiene $AB=40+80=120$ cm. Por semejanza:

$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$

$\frac{36}{x}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$

$x=36\cdot 3=108\text{ cm}$

Ejercicio 7

Trabajo colaborativo

Parte 7.a

Distancia entre las calles 8 y 9 sobre la calle A

Los segmentos correspondientes son proporcionales:

$\frac{550}{675}=\frac{x}{400}$

Despejando:

$x=\frac{550\cdot 400}{675}=\frac{4400}{9}\text{ m}\approx 488,89\text{ m}$

Por tanto, la distancia correspondiente sobre la calle A es aproximadamente $488,89$ m. El tramo entre las calles 8 y 9, si se toma como segmento correspondiente al tramo de $400$ m, es $\frac{3200}{9}\text{ m}\approx 355,56$ m cuando los datos se interpretan como distancias acumuladas desde la intersección inicial.

Parte 7.b

Escalera

El piso es paralelo al lado de longitud $x$ , por lo que se forman triángulos semejantes. La proporción es:

$\frac{x}{75}=\frac{175}{250}$

$x=75\cdot\frac{175}{250}=52,5\text{ cm}$

Ejercicio 8

División de un segmento en siete partes iguales

La longitud de cada parte es:

$\frac{10}{7}\text{ cm}\approx 1,43\text{ cm}$

Para construir la división, se traza desde $A$ una semirrecta auxiliar, se marcan siete segmentos iguales sobre ella y se une la séptima marca con $B$ . Luego se trazan paralelas a esa unión por las seis marcas restantes. Estas paralelas dividen $\overline{AB}$ en siete partes iguales.

Contenido de la página

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales permite establecer proporciones entre segmentos determinados por rectas paralelas que cortan dos transversales. En la página se utiliza para calcular longitudes desconocidas en figuras geométricas y situaciones cotidianas.

Ejemplos resueltos

Un árbol de $5$ m proyecta una sombra de $9$ m. Un edificio proyecta una sombra de $21$ m. ¿Cuál es su altura?

$\frac{h}{21}=\frac{5}{9}$

$h=\frac{21\cdot5}{9}=\frac{35}{3}\text{ m}\approx11,67\text{ m}$

Fórmulas y ecuaciones

Segmentos correspondientes: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Altura mediante sombras: $\frac{\text{altura}_1}{\text{sombra}_1}=\frac{\text{altura}_2}{\text{sombra}_2}$

Parte de un segmento dividido en $n$ partes: $\frac{\text{longitud total}}{n}$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\frac{h}{21}=\frac{5}{9}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

$\frac{10}{7}\text{ cm}$

Glosario (5)

Rectas paralelas: Rectas que permanecen siempre a la misma distancia y nunca se cortan.
Transversal: Recta que corta a dos o más rectas.
Segmentos correspondientes: Segmentos ubicados entre las mismas rectas paralelas en dos transversales.
Triángulos semejantes: Triángulos que tienen la misma forma, aunque pueden tener diferente tamaño.
Proporción: Igualdad entre dos razones.

Preguntas para practicar

¿Por qué las rectas paralelas permiten formar proporciones?

¿En qué situaciones de la vida cotidiana se puede aplicar el teorema de Thales?

¿Cómo construirías geométricamente la división de un segmento en partes iguales?

Temas y conceptos clave

Aplicaciones del teorema de ThalesProporcionalidad entre segmentosSemejanza de triángulosDivisión de segmentosRectas paralelasRectas transversalesSegmentos correspondientesRazones proporcionalesTriángulos semejantesRegla de tres

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