Completa las proporciones de acuerdo con la figura, si AEBD.

a) ABDE=BCCD; b) ACBC=CECD; c) ABBC=DECD; d) BDAE=BCAC

Escribe una fórmula para determinar el segmento azul en cada figura, considerando que los segmentos indicados son paralelos.

a) AC=AB·AC'AB'; b) B'C'=AB'·BCAB; c) CC'=BB'·ACAB

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Teorema de Thales y proporcionalidad

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Respuesta rápida

a) $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}}$ ; b) $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}$ ; c) $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CD}}$ ; d) $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$ .
a) V, b) F, c) F, d) F.
a) $\overline{AC}=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{AC'}}{\overline{AB'}}$ ; b) $\overline{B'C'}=\dfrac{\overline{AB'}\cdot\overline{BC}}{\overline{AB}}$ ; c) $\overline{CC'}=\dfrac{\overline{BB'}\cdot\overline{AC}}{\overline{AB}}$ .
a) $x=\dfrac{8}{3}\text{ cm}$ ; b) $x=36\text{ cm}$ .

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Solución — Página 194

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Completar proporciones

Como $\overline{BD}\parallel\overline{AE}$ , los triángulos $CBD$ y $CAE$ son semejantes. Por ello, sus lados correspondientes son proporcionales:

$\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{AE}}$

Además, los segmentos complementarios también mantienen la misma razón:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}$

Por tanto:

a) $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}}$
b) $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}$
c) $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CD}}$
d) $\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$

Ejercicio 2

Verdadero o falso

a) Es verdadera. El teorema de Thales se aplica cuando varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales.
b) Es falsa. Dos segmentos son proporcionales cuando el cociente entre sus longitudes es igual al cociente entre las longitudes de otros dos segmentos.
c) Es falsa. La razón es el cociente entre dos cantidades o medidas.
d) Es falsa. El teorema de Thales divide los segmentos en partes proporcionales, que no necesariamente tienen la misma longitud.

Ejercicio 3

Fórmulas

Parte 3.a

Los triángulos formados son semejantes, por lo que:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AB'}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AC'}}$

Despejando el segmento azul $\overline{AC}$ :

$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC'}}{\overline{AB'}}$

Parte 3.b

Como $\overline{B'B}\parallel\overline{C'C}$ , se cumple:

$\frac{\overline{AB'}}{\overline{AC'}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$

Además, $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$ . El segmento azul es $\overline{B'C'}=\overline{AC'}-\overline{AB'}$ , por tanto:

$\overline{B'C'}=\frac{\overline{AB'}\cdot\overline{BC}}{\overline{AB}}$

Parte 3.c

Como $\overline{BB'}\parallel\overline{CC'}$ :

$\frac{\overline{BB'}}{\overline{CC'}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$

Despejando el segmento azul $\overline{CC'}$ :

$\overline{CC'}=\frac{\overline{BB'}\cdot\overline{AC}}{\overline{AB}}$

Ejercicio 4

Cálculo de $x$

Parte 4.a

Como $\overline{BE}\parallel\overline{DC}$ , los triángulos $AEB$ y $ADC$ son semejantes:

$\frac{x}{6}=\frac{4}{9}$

Multiplicamos en cruz:

$9x=24$

$x=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\text{ cm}$

Parte 4.b

Primero calculamos $\overline{AD}$ :

$\overline{AD}=\overline{AE}+\overline{ED}=2+4=6\text{ cm}$

Por la semejanza de los triángulos $ABE$ y $ACD$ :

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}$

Sustituimos los datos:

$\frac{12}{x}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Multiplicamos en cruz:

$x=36\text{ cm}$

Contenido de la página

Teorema de Thales

Cuando varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una transversal son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra.

En un triángulo, si un segmento es paralelo a uno de sus lados, se forman dos triángulos semejantes. Esta semejanza permite establecer proporciones y calcular longitudes desconocidas.

Ejemplos resueltos

En un triángulo, $\overline{BE}\parallel\overline{DC}$ , $\overline{AE}=4\text{ cm}$ , $\overline{AD}=9\text{ cm}$ y $\overline{DC}=6\text{ cm}$ . Encuentra $\overline{BE}$ .

$\dfrac{\overline{BE}}{6}=\dfrac{4}{9}$ , por lo tanto $\overline{BE}=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}\text{ cm}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\overline{AC}=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{AC'}}{\overline{AB'}}$

$\overline{B'C'}=\dfrac{\overline{AB'}\cdot\overline{BC}}{\overline{AB}}$

$\overline{CC'}=\dfrac{\overline{BB'}\cdot\overline{AC}}{\overline{AB}}$

$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{CE}}$

$\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$

$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}}$

Glosario (5)

Razón: Cociente entre dos cantidades o medidas.
Proporción: Igualdad entre dos razones.
Rectas paralelas: Rectas que están en el mismo plano y nunca se intersectan.
Triángulos semejantes: Triángulos que tienen la misma forma, con ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales.
Transversal: Recta que corta a dos o más rectas.

Temas y conceptos clave

Teorema de ThalesProporciones entre segmentosSemejanza de triángulosCálculo de longitudes desconocidasRectas paralelasSegmentos proporcionalesRazónTriángulos semejantesCorrespondencia de lados

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