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Ejemplos de semejanza de triángulos

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Sí, son semejantes por LAL; $k=2$ .

b) $\triangle ABC\sim\triangle EDC$ por AAA.

c) Sí, son semejantes por LLL; $k=3$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 197

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejemplo a

Se comparan los triángulos 1 y 2 mediante el criterio LAL.

Los lados correspondientes son proporcionales:

$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2$

$\frac{AC}{DF}=\frac{4}{2}=2$

Además, los ángulos comprendidos son iguales:

$\angle A=\angle D=60^\circ$

Como los dos pares de lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido es congruente, los triángulos son semejantes por el criterio LAL. La razón de semejanza es:

$k=2$

Ejemplo b

Se sabe que $AB\parallel DE$ .

Por ser un dato del problema: $AB\parallel DE$
Las rectas paralelas $AB$ y $DE$ , cortadas por la transversal $AE$ , forman ángulos alternos internos congruentes: $\angle A\cong\angle E$
Los ángulos $1$ y $2$ son opuestos por el vértice, por lo tanto: $\angle 1\cong\angle 2$
Como dos ángulos correspondientes son congruentes, se aplica el criterio AAA: $\triangle ABC\sim\triangle EDC$

Ejemplo c

Se comparan los lados correspondientes de los dos triángulos mediante el criterio LLL:

$\frac{AB}{DE}=\frac{18}{6}=3$

$\frac{AC}{DF}=\frac{12}{4}=3$

$\frac{BC}{EF}=\frac{9}{3}=3$

Las tres razones son iguales, por lo que los lados correspondientes son proporcionales. En consecuencia, los triángulos son semejantes por el criterio LLL y la razón de semejanza es:

$k=3$

Conceptos de la página

Una razón es el cociente entre dos cantidades comparables y se expresa como una fracción.
Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
La constante de proporcionalidad o razón de semejanza es el valor común de las razones: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$

Contenido de la página

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.

Criterios utilizados

LAL: dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido congruente.
AAA: dos o tres pares de ángulos correspondientes congruentes.
LLL: los tres pares de lados correspondientes proporcionales.

Razón y proporción

La razón es el cociente entre dos cantidades comparables. Una proporción es una igualdad entre dos razones. La razón de semejanza $k$ es la constante común de la proporción entre los lados correspondientes.

Ejemplos resueltos

Un triángulo tiene lados correspondientes de $6\ \text{cm}$ y $4\ \text{cm}$ , y otro tiene lados correspondientes de $3\ \text{cm}$ y $2\ \text{cm}$ . Los ángulos comprendidos miden $60^\circ$ .

$\frac{6}{3}=2$ y $\frac{4}{2}=2$ . Como los lados son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, los triángulos son semejantes por LAL. La razón de semejanza es $k=2$ .

Dados $AB\parallel DE$ , demostrar que $\triangle ABC\sim\triangle EDC$ .

Las paralelas cortadas por una transversal determinan ángulos alternos internos congruentes: $\angle A\cong\angle E$ . Además, $\angle 1\cong\angle 2$ por ser opuestos por el vértice. Por AAA, $\triangle ABC\sim\triangle EDC$ .

Comparar triángulos cuyos lados correspondientes miden $18\ \text{m},12\ \text{m},9\ \text{m}$ y $6\ \text{m},4\ \text{m},3\ \text{m}$ .

$\frac{18}{6}=\frac{12}{4}=\frac{9}{3}=3$ . Las tres razones son iguales, por lo tanto los triángulos son semejantes por LLL y $k=3$ .

Fórmulas y ecuaciones

Razón de semejanza: $k=\frac{\text{lado del primer triángulo}}{\text{lado correspondiente del segundo triángulo}}$

Criterio LLL: $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$

Proporción: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\frac{AB}{DE}$ = $\frac{AC}{DF}$

$\frac{AB}{DE}$ = $\frac{AC}{DF}$ = $\frac{BC}{EF}$

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{e}{f}$ =k

Glosario (6)

Razón: Cociente entre dos cantidades comparables, expresado como una fracción.
Proporción: Igualdad entre dos razones.
Antecedente: Primer término de una razón; corresponde al dividendo.
Consecuente: Segundo término de una razón; corresponde al divisor.
Razón de semejanza: Constante de proporcionalidad entre los lados correspondientes de dos figuras semejantes.
Congruente: Que tiene la misma medida o forma que otra figura o elemento correspondiente.

Temas y conceptos clave

Semejanza de triángulosCriterio LALCriterio AAACriterio LLLRazón y proporciónTriángulos semejantesLados correspondientesÁngulos congruentesRazón de semejanzaConstante de proporcionalidadÁngulos alternos internosÁngulos opuestos por el vértice

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Figuras de la página (2)

Figura con dos triángulos relacionados por las rectas paralelas $AB$ y $DE$, utilizada para demostrar la semejanza por AAA. — Figura 2 image

Dos triángulos con lados correspondientes de $18,12,9$ metros y $6,4,3$ metros. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se determina la razón de semejanza entre dos triángulos?

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¿Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos?

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¿Cómo se demuestra que dos triángulos son semejantes por el criterio AAA?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar lados y ángulos correspondientes
• Resolver razones y proporciones
• Reconocer ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice
• Conocer las propiedades de las rectas paralelas

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos para calcular longitudes desconocidas

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Ejemplos

Un triángulo tiene dos lados de longitud 6 cm y 4 cm, y el ángulo comprendi- do entre ellos es de 60°. Otro triángulo tiene lados de 3 cm y 2 cm, además, el ángulo entre ellos dos es de 60”. ¿Son triángulos semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?

Utilizando los postulados de semejanza de triángulos de la página anterior, podemos conocer si los triángulos 1 y 2 son semejantes.

AB AC Aplicando el teorema LAL, tenemos: 22="< y 44=X0D

DE DF Reemplazamos los valores para encontrar la razón de semejanza: AB AC 6% DE DF 3 2

Conclusion:la razón de semejanza es 2, es decir, los lados correspondientes de los dos triángulos son proporcionales y los ángulos A y D, ambos miden 60°. Por lo tanto, se cumple el teorema LAL. Los dos triángulos son semejantes.

En la figura, dado AB||DE, demuestra: AABC ~ AEDC.

Demostración

Razones

Enunciados

AB|| DE 1. Dado. €
Si dos rectas paralelas se cortan al
4A5 AE por una transversal, los ángulos al- | 5 E
<1= £2 ternos internos son congruentes.
Los ángulos opuestos por el vér-
AABC ~ AEDC

tice son congruentes. 4.Criterio AAA.

Conclusión: los triángulos AABC ~ AEDC son semejantes.

Un triángulo tiene como medidas de sus lados 18 m, 12 m y 9 m, y otro trián- gulo tiene medidas 6 m, 4 m y 3 m. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Son seme- jantes estos triángulos?