Taller: semejanza de triángulos

Resolución

• a) Falso. Los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son congruentes, no proporcionales.
• b) Verdadero. ALA es un criterio de semejanza: dos ángulos y el lado comprendido correspondiente son iguales en proporción.
• c) Verdadero. LLL es un criterio de semejanza cuando los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.
• d) Verdadero. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de 90^\circ.
• e) Verdadero. La proporcionalidad de todos los pares de lados correspondientes demuestra la semejanza por LLL.
• f) Verdadero. En \triangle PQR \sim \triangle MNO, las correspondencias son P\leftrightarrow M, Q\leftrightarrow N y R\leftrightarrow O; por tanto, \angle Q \cong \angle N.
• g) Falso. En \triangle OPQ \sim \triangle RST, \angle STR corresponde a \angle Q, mientras que \angle POQ corresponde a \angle R.
• h) Falso. En \triangle ABC \sim \triangle PQR, la correspondencia es A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q y C\leftrightarrow R; por tanto, \angle A no corresponde a \angle Q.

En los triángulos se observan dos pares de ángulos iguales: 30^\circ y 60^\circ. Por ello, los triángulos \triangle DEF y \triangle ABC son semejantes por el criterio AA, conocido también como ángulo-ángulo.

Como \angle A \cong \angle F y \angle B \cong \angle E, la correspondencia es:

A\leftrightarrow F,\qquad B\leftrightarrow E,\qquad C\leftrightarrow D

Los lados correspondientes son BC\leftrightarrow ED, AB\leftrightarrow EF y AC\leftrightarrow FD.

La razón de semejanza del segundo triángulo respecto del primero es:

k=\frac{ED}{BC}=\frac{5}{4}

Entonces:

d=EF=AB\cdot k=3\cdot\frac{5}{4}=\frac{15}{4}=3,75

e=FD=AC\cdot k=2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}=2,5

Todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60^\circ. Por tanto:

\angle B=60^\circ,\qquad \angle D=60^\circ

La razón de semejanza es \frac{1}{2}. Se divide cada lado del triángulo GHI entre 2:

GI'=32\cdot\frac{1}{2}=16

I'H'=37\cdot\frac{1}{2}=\frac{37}{2}=18,5

G'H'=19\cdot\frac{1}{2}=\frac{19}{2}=9,5

Para construirlo, se trazan segmentos con esas tres medidas y se unen sus extremos correspondientes. El triángulo obtenido tiene la misma forma que \triangle GHI, pero sus lados miden la mitad.

La altura del poste y la sombra, así como la altura del florero y su sombra, forman triángulos semejantes. Primero se convierten las unidades:

12\text{ m}=1200\text{ cm}

Sea x la altura del poste en centímetros. Se plantea la proporción:

\frac{x}{1200}=\frac{25}{5}

Como \frac{25}{5}=5:

x=1200\cdot 5=6000\text{ cm}=60\text{ m}

La altura del poste es 60 metros. Para evitar daños, se debe acordonar y señalizar el área, impedir el acercamiento de estudiantes y personas, informar a la institución y solicitar de inmediato una inspección y reparación a la empresa eléctrica o a las autoridades competentes.