Los lados de ABC son 2 cm, 3 cm y 4 cm; los de DEF son 8 cm, 12 cm y 16 cm. Determina la proporcionalidad, los perímetros y las áreas.

P_ABC=9 cm, P_DEF=36 cm, P_DEFP_ABC=4; A_ABC=3154 cm^2, A_DEF=1215 cm^2, A_DEFA_ABC=16

Analiza si es posible que los triángulos sean semejantes cuando uno contiene ángulos de 50^ y 79^, y aparecen los ángulos 79^ y 51^ en los otros triángulos.

50^+79^+51^=180^; sí es posible por AA

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Semejanza de triángulos: ejercicios y problemas

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Respuesta rápida

Razón $2$ ; sí son semejantes. 8. $DE=15$ , $EF=21$ , $DF=24$ . 9. Son semejantes por SAS. 10. Razón $2$ ; sí existe. 11. Son semejantes por AA. 12. Son semejantes por AA. 13. Razón $2$ . 14. Perímetros $9$ cm y $36$ cm; áreas $\frac{3\sqrt{15}}{4}$ cm² y $12\sqrt{15}$ cm². 15a. $1440$ m². 15b. Aproximadamente $43,10$ m. 16. Sí, porque los ángulos son $50^\circ$ , $79^\circ$ y $51^\circ$ . 17. No son semejantes.

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Solución — Página 199

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Resolución general

Para determinar si dos triángulos son semejantes se comparan sus ángulos homólogos y sus lados correspondientes. Si la razón entre los lados correspondientes es constante, los triángulos son semejantes.

En los ejercicios 7, 8, 10, 13 y 14 se aplican proporciones entre lados.
En los ejercicios 9, 11 y 12 se utilizan los criterios AA o SAS.
Si la razón de semejanza es $k$ , la razón de los perímetros es $k$ y la razón de las áreas es $k^2$ .
En el ejercicio 15 se aplican proporciones en situaciones reales.
En el ejercicio 17 se verifica el criterio SAS.

Contenido de la página

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Relaciones importantes

Si la razón de semejanza es $k$ , entonces:

$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=k$

La razón de los perímetros también es $k$ , mientras que la razón de las áreas es $k^2$ .

Criterios usados

AA: dos ángulos correspondientes son iguales.
SAS: dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido es igual.

Las figuras de la página aplican estos criterios a problemas numéricos y demostraciones geométricas.

Fórmulas y ecuaciones

Razón de semejanza: $k=\frac{\text{lado mayor}}{\text{lado menor}}$

Razón de perímetros: $\frac{P'}{P}=k$

Razón de áreas: $\frac{A'}{A}=k^2$

$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=k$

$P'=kP$

$A'=k^2A$

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Glosario (5)

Triángulos semejantes: Triángulos que tienen ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales.
Lados homólogos: Lados que ocupan la misma posición en dos figuras semejantes.
Razón de semejanza: Cociente constante entre las longitudes de lados correspondientes.
Criterio AA: Criterio que demuestra semejanza cuando dos pares de ángulos correspondientes son iguales.
Criterio SAS: Criterio que demuestra semejanza con dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Preguntas para practicar

¿Por qué la razón de las áreas de triángulos semejantes es el cuadrado de la razón de sus lados?

¿Cómo se demuestra la semejanza usando rectas paralelas?

¿Qué otros problemas de la vida diaria pueden resolverse con triángulos semejantes?

Temas y conceptos clave

Semejanza de triángulosCriterios AA y SASRazón de semejanzaPerímetros y áreas de figuras semejantesAplicaciones de la proporcionalidadLados correspondientesÁngulos homólogosRazón de semejanzaCriterio AACriterio SASRazón de perímetrosRazón de áreas

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Figuras de la página (4)

Dos triángulos rectángulos con marcas de igualdad en sus catetos correspondientes. — Figura 2 image

Rectángulo o paralelogramo con puntos N y Q en dos lados y segmentos paralelos que forman dos triángulos. — Figura 3 image

Un paralelogramo BDEF atravesado por dos segmentos que forman los triángulos AFE y CDE. — Figura 4 image

Dos triángulos con ángulo incluido de 65 grados; el mayor tiene lados rotulados 11,5 cm y 20 cm, y el menor 7 cm y 8 cm. — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la razón de semejanza entre dos triángulos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre los criterios AA y SAS?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relacionan las áreas de dos triángulos semejantes?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Conocer los lados y ángulos de un triángulo
• Resolver proporciones
• Aplicar el teorema de Pitágoras y la fórmula de Herón
• Reconocer rectas paralelas y ángulos homólogos

Siguiente tema sugerido

Teorema de Tales y aplicaciones de la semejanza

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Encuentra la solución del siguiente problema.

semejanza? ¿Son semejantes estos triángulos?

Resuelve. Si ABC ~ ADEF, la longitud del lado EF es el triple del lado BC, ¿qué longitudes tienen

los lados respectivos de ADEF?

E B Ve a A E G D F

Dadalasiguiente figura, demuestra: AABC ~ AEDC

] od oe Z

Emplea los criterios de semejanza y determina

la solución del problema.

Un triángulo tiene dos lados de longitud 10 cm y 6 cm y el ángulo comprendido entre ellos de 100°. Otro triángulo tiene lados de 5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos dos es de 100°. ¿Cuál es la razón de semejanza, si existe?

11.De la siguiente figura se conoce que: N es punto

de MP,Q es punto de PR, NQ y MR son parale- : las. Demuestra que los triángulos NPQ y MSRson_

| Actividad indagatoria

semejantes. M N P Q S R

12.En la figura, BDEF es un paralelogramo. De- : muestra que los triángulos AFE y CDE son :

semejantes.

: Trabajo colaborativo

Un triángulo tiene como medidas de sus lados 6,4 m, y 6 my 5 m, mientras que otro triángulo tiene como : medidas 3,2 m, 3 my 2,5 m. ¿Cuál es la razón de E

Trabajen en equipo y resuelvan.