La altura de una pelota está dada por h=-16t^2+80t. Determina cuándo llega al suelo, la altura a los 2 segundos y cuándo alcanza su altura máxima.

t_suelo=5 s, h(2)=96 pies, t_=2,5 s

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Problemas propuestos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$606,68$ m de cerramiento, aproximadamente.
$9,91$ m de ancho.
$16$ unidades.
$4,5$ m.
$4$ m.
Llega al suelo en $5$ s; a los $2$ s alcanza $96$ pies; la altura máxima ocurre a los $2,5$ s.
$20$ cm y $15$ cm.
$42\sqrt{10}$ m, aproximadamente $132,82$ m.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 201

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los problemas

Ejercicio 1

Cerramiento del parque

Sea $x$ el ancho del parque. Entonces, el largo es $x+36$ y la diagonal mide $216$ m.

Por el teorema de Pitágoras: $x^2+(x+36)^2=216^2$ $2x^2+72x-45360=0$ $x^2+36x-22680=0$

La solución positiva es: $x=\frac{-36+\sqrt{92016}}{2}\approx 133,67\text{ m}$

El largo es: $x+36\approx 169,67\text{ m}$

El cerramiento corresponde al perímetro: $P=2(x+x+36)=4x+72\approx 606,68\text{ m}$

Respuesta

se necesitan aproximadamente $606,68$ metros de cerramiento.

Ejercicio 2

Ancho de la acera

El área total de la quinta es: $50\times80=4000\text{ m}^2$

Como la huerta y la acera tienen la misma área, cada una ocupa la mitad: $A_{\text{huerta}}=A_{\text{acera}}=2000\text{ m}^2$

Sea $x$ el ancho de la acera. Las dimensiones de la huerta son $50-2x$ y $80-2x$ : $(50-2x)(80-2x)=2000$ $4x^2-260x+2000=0$ $x^2-65x+500=0$

$x=\frac{65\pm\sqrt{2225}}{2}$

La solución válida es: $x=\frac{65-5\sqrt{89}}{2}\approx 9,91\text{ m}$

Respuesta

el ancho de la acera es aproximadamente $9,91$ metros.

Ejercicio 3

Lado del cuadrado

Sea $x$ el lado del cuadrado. Su área es $x^2$ y su perímetro es $4x$ .

$x^2+4x=320$ $x^2+4x-320=0$ $x=\frac{-4\pm\sqrt{1296}}{2}$ $x=16\quad\text{o}\quad x=-20$

Como una longitud debe ser positiva, se acepta $x=16$ .

Respuesta

el lado del cuadrado mide $16$ unidades.

Ejercicio 4

Altura del poste

La sombra total del poste mide $5,4+3,6=9$ m, porque la persona está a $5,4$ m del faro y su sombra mide $3,6$ m.

Por semejanza de triángulos: $\frac{H}{9}=\frac{1,8}{3,6}$ $H=9\left(\frac{1,8}{3,6}\right)=4,5\text{ m}$

Respuesta

la altura del poste es $4,5$ metros.

Ejercicio 5

Altura del árbol

Se forman triángulos semejantes, por lo que: $\frac{h}{12}=\frac{1,5}{4,5}$ $h=12\left(\frac{1,5}{4,5}\right)=4\text{ m}$

Respuesta

el árbol mide $4$ metros de altura.

Ejercicio 6

Movimiento vertical de la pelota

La ecuación es: $h=-16t^2+80t$

Tiempo para llegar al suelo: Cuando la pelota llega al suelo, $h=0$ : $-16t^2+80t=0$ $-16t(t-5)=0$

Las soluciones son $t=0$ y $t=5$ . El tiempo de vuelo es $5$ segundos.

Altura a los 2 segundos: $h(2)=-16(2)^2+80(2)$ $h(2)=-64+160=96\text{ pies}$

Tiempo para alcanzar la altura máxima: Para $h=at^2+bt+c$ , la coordenada temporal del vértice es $t=-\frac{b}{2a}$ : $t=-\frac{80}{2(-16)}=2,5\text{ s}$

La altura máxima es: $h(2,5)=-16(2,5)^2+80(2,5)=100\text{ pies}$

Respuesta

llega al suelo en $5$ segundos, alcanza $96$ pies a los $2$ segundos y llega a su altura máxima a los $2,5$ segundos.

Ejercicio 7

Dimensiones de la hoja

Sean $x$ y $y$ las dimensiones de la hoja. Del perímetro: $2x+2y=70$ $x+y=35$

Del área: $xy=300$

Las dimensiones son las raíces de: $z^2-35z+300=0$ $z=\frac{35\pm\sqrt{25}}{2}$ $z=20\quad\text{o}\quad z=15$

Respuesta

la hoja mide $20\text{ cm}\times15\text{ cm}$ .

Ejercicio 8

Perímetro del terreno

Sea $x$ el ancho. El largo es $\frac{3}{4}x$ .

Usando el área: $x\left(\frac{3}{4}x\right)=1080$ $\frac{3}{4}x^2=1080$ $x^2=1440$ $x=12\sqrt{10}\text{ m}$

El largo es: $\frac{3}{4}(12\sqrt{10})=9\sqrt{10}\text{ m}$

El perímetro es: $P=2(12\sqrt{10}+9\sqrt{10})=42\sqrt{10}\text{ m}$ $P\approx132,82\text{ m}$

Respuesta

el perímetro del terreno es $42\sqrt{10}$ m, aproximadamente $132,82$ m.

Contenido de la página

La página propone ocho problemas contextualizados. Para resolverlos se deben definir variables, traducir la información a ecuaciones, seleccionar las soluciones válidas y comprobar las respuestas según el contexto. Los problemas abarcan rectángulos, cuadrados, sombras, movimiento vertical y terrenos.

Fórmulas y ecuaciones

$P=2(l+a)$

$A=l\times a$

$a^2+b^2=c^2$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$t=-\frac{b}{2a}$

$x^2+(x+36)^2=216^2$

$(50-2x)(80-2x)=2000$

$x^2+4x=320$

$\frac{H}{9}=\frac{1,8}{3,6}$

$\frac{h}{12}=\frac{1,5}{4,5}$

$h=-16t^2+80t$

$x+y=35$ , $xy=300$

$x\left(\frac{3}{4}x\right)=1080$

Glosario (5)

Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura.
Perímetro: Medida del contorno de una figura.
Área: Medida de la superficie que ocupa una figura.
Semejanza: Relación entre figuras que tienen la misma forma y lados correspondientes proporcionales.
Altura máxima: Mayor valor de la altura alcanzada por un objeto en movimiento vertical.

Temas y conceptos clave

Problemas geométricosEcuaciones cuadráticasÁreas y perímetrosProporcionalidadMovimiento verticalTeorema de PitágorasPerímetro de un rectánguloÁrea de un rectánguloFórmula cuadráticaTriángulos semejantesVértice de una parábola

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras en problemas de rectángulos?

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¿Cómo resolver problemas de áreas y perímetros con ecuaciones?

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¿Cómo hallar la altura máxima de una pelota mediante una función cuadrática?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Resolución de ecuaciones de segundo grado
• Cálculo de áreas y perímetros
• Teorema de Pitágoras
• Proporcionalidad y semejanza de triángulos

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de las funciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones

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Problemas propuestos

Se va a realizar el cerramiento de un parque municipal de forma rectangular, que tiene de largo 36 m más que de ancho y cuya diagonal mide 216 m, ¿cuántos metros de cerramiento se necesitan?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Una quinta mide 50 metros de frente y 80 metros de fondo. Tiene una huerta rodeada de una acera para protegerla y ocupan toda la superficie de la

quinta. Además, si el área de la huerta es la misma que el área de la acera, ¿cuál es el ancho de la acera?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

e) Aplicar la estrategia.

d) Responder,

Se necesita conocer el lado de un cuadrado, del que la suma de su área más su perímetro es numé- ricamente igual a 320:

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder,

Un poste de alumbrado público proyecta una sombra a cierta hora del día. Mientras que una persona de 1,8 m de altura, ubicada a 5,4 m de

dicho faro, proyecta una sombra de 3,6 m a la mis- ma hora del día. Halla la altura del poste:

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia. d) Responder,

Halla la altura de un árbol, teniendo en cuen- ta que la sombra que proyecta mide 12 metros y que, en ese mismo instante, la sombra de un palo de 1,5 metros mide 4,5 metros.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

La altura que alcanza una pelota al lanzarla verti- calmente hacia arriba viene dada por la ecuación h=-16t? +Vot , siendo v, la velocidad inicial y t el tiempo. Si la velocidad inicial de una pelota lanzada hacia arriba es de 80 pies/s.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

» ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo?

» ¿Qué altura alcanzará la pelota al cabo de los 2 segundos?

» ¿En qué tiempo alcanzará la pelota su altu- ra máxima?

Cuáles son las dimensiones de una hoja de un libro cuyo perímetro es de 70 cm y su área es de 300 cm??

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Un terreno rectangular tiene de largo 3/4 de su ancho y su área es de 1 080 m?. ¿Cuál es el perí- metro del terreno?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.