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Estrategia: realizar un gráfico

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Distancia entre Quito y Ambato: aproximadamente $230\ \text{km}$ .
Altura del poste: aproximadamente $3,12\ \text{m}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 200

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Estrategia de resolución

Para resolver problemas geométricos se recomienda seguir estos pasos:

Comprender la pregunta del problema.
Plantear una estrategia, como realizar un gráfico.
Aplicar la estrategia mediante ecuaciones y el teorema de Pitágoras.
Responder con la unidad de medida correspondiente.

Ejercicio 1

distancia entre Quito y Ambato

Sea $x$ la distancia entre Quito y Ambato y $y$ la distancia entre Santo Domingo y Quito. La distancia entre Santo Domingo y Ambato es $234\ \text{km}$ y el recorrido total mide $425\ \text{km}$ .

Como el recorrido está formado por los tres lados del triángulo:

$x+y+234=425$

Despejamos $y$ :

$y=191-x$

Como se trata de un triángulo rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras:

$x^2+y^2=234^2$

Sustituimos $y=191-x$ :

$x^2+(191-x)^2=234^2$

$x^2+36481-382x+x^2=54756$

$2x^2-382x-18275=0$

Al resolver la ecuación cuadrática se obtienen aproximadamente:

$x_1\approx230\ \text{km},\qquad x_2\approx-39\ \text{km}$

Se descarta la solución negativa porque una distancia no puede ser menor que cero. Por tanto, la distancia entre Quito y Ambato es aproximadamente $230\ \text{km}$ .

Ejercicio 2

altura del poste

La sombra mide $2,5\ \text{m}$ . Sea $b$ la altura del poste y $c$ la hipotenusa del triángulo. El perímetro del triángulo es $9,62\ \text{m}$ .

Planteamos la suma de los lados:

$c+b+2,5=9,62$

Despejamos $c$ :

$c=7,12-b$

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

$2,5^2+b^2=c^2$

Sustituimos $c=7,12-b$ :

$6,25+b^2=(7,12-b)^2$

$6,25+b^2=50,69-14,24b+b^2$

$6,25-50,69=-14,24b$

$\frac{-44,44}{-14,24}=b$

$b\approx3,12\ \text{m}$

Verificación de la hipotenusa:

$c=7,12-3,12=4\ \text{m}$

$2,5^2+3,12^2\approx4^2$

Por tanto, la altura del poste es aproximadamente $3,12\ \text{m}$ .

Contenido de la página

Competencia matemática

Estrategia: realizar un gráfico

La página presenta dos problemas resueltos. En ambos casos se comprende la pregunta, se dibuja un triángulo rectángulo, se plantean ecuaciones y se aplica el teorema de Pitágoras.

La estrategia permite representar visualmente los datos y relacionar las longitudes conocidas con las desconocidas. Cuando aparece una ecuación cuadrática, se utiliza la fórmula general y se descartan las soluciones que no tienen sentido en el contexto del problema.

Ejemplos resueltos

Manuel recorre las ciudades de Quito, Ambato y Santo Domingo, que forman un triángulo rectángulo. La distancia entre Santo Domingo y Ambato es $234\ \text{km}$ y el recorrido total es de $425\ \text{km}$ . ¿Cuál es la distancia entre Quito y Ambato?

Se plantea $x+y+234=425$ , de donde $y=191-x$ . Luego, por Pitágoras, $x^2+(191-x)^2=234^2$ . La ecuación resultante es $2x^2-382x-18275=0$ . Sus soluciones aproximadas son $230\ \text{km}$ y $-39\ \text{km}$ . Se descarta la solución negativa, por lo que la distancia buscada es aproximadamente $230\ \text{km}$ .

Un poste proyecta una sombra de $2,5\ \text{m}$ . Si la suma de las longitudes de los tres lados del triángulo es $9,62\ \text{m}$ , ¿cuál es la altura del poste?

Si $b$ es la altura y $c$ la hipotenusa, entonces $c+b+2,5=9,62$ , por lo que $c=7,12-b$ . Aplicando Pitágoras: $2,5^2+b^2=(7,12-b)^2$ . Al resolver, se obtiene $b\approx3,12\ \text{m}$ . La altura del poste es aproximadamente $3,12\ \text{m}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$a^2+b^2=c^2$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$P=a+b+c$

x+y+234=425

y=191-x

$x^2+y^2=234^2$

$2x^2-382x-18275=0$

c+b+2,5=9,62

c=7,12-b

$2,5^2+b^2=c^2$

Glosario (5)

Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto y el más largo de un triángulo rectángulo.
Perímetro: Suma de las longitudes de todos los lados de una figura.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Ecuación cuadrática: Ecuación cuyo mayor exponente de la variable es dos.

Temas y conceptos clave

Estrategias para resolver problemasRepresentación gráficaTriángulos rectángulosTeorema de PitágorasEcuaciones cuadráticasRealizar un gráficoCatetosHipotenusaPerímetroFórmula generalSolución positiva de una distancia

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Figuras de la página (1)

Triángulo rectángulo formado por la altura del poste, la sombra de $2,5\ \text{m}$ y la distancia inclinada desde la parte superior del poste hasta el extremo de la sombra. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras en un problema?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática con la fórmula general?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo encontrar la altura de un poste con la longitud de su sombra?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer los lados de un triángulo rectángulo
• Aplicar el teorema de Pitágoras
• Resolver ecuaciones lineales
• Resolver ecuaciones cuadráticas
• Usar correctamente las unidades de medida

Siguiente tema sugerido

Aplicación del teorema de Pitágoras y las ecuaciones cuadráticas en problemas geométricos

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MA Estrategia: realizar un gráfico

Competencia matemática

E: Problema resuelto

Archivo editorial.

Manuel traza la ruta de su paseo y, observa que las ciudades de Quito, Ambato y Santo Domingo forman un triángulo rectángulo. Sila distancia entre Santo Domingo y Ambato es 234 km y el recorrido total de la ruta es 425 km, ¿cuál es la distancia entre Quito-Ambato?

Comprender el problema ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Cuál es la distancia entre Quito-Ambato?
Plantear la estrategia ¿Cuál es la estrategia de solución? Realizar un gráfico.
Aplicar la estrategia ¿Cómo se aplica la estrategia?

Realizar un dibujo.

Santo Domingo Quito

234 km ES

Ambato Determinar una ecuación y despeja y.

x+y+234=425 y=191-x

Encontrar la medida de un cateto. Aplicar el teorema

de Pitagoras

x2+y?=234

Sustituir la primera ecuación en la segunda. x24y?=2342

x2+(191-x)?= 234?

x2+36 481 - 382x +x? = 54 756

2x?- 382x- 18 275 =0

Utilizar la fórmula general para resolver la ecuación.

-(382)-+ [(-382) - 4(2)(18 275) . 20) x, = 230 km y x, =- 39 km Descartamos la respuesta negativa. 4. Responder ¿Llegaste a la solución del problema?

La distancia Quito-Ambato es 230 km.

Problema resuelto

Al atardecer, un poste proyecta una sombra de 2,5 m de longitud. Cuál es la altura del poste, si la suma de las distancias que forman el triángulo es de 9,62 m.