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Números reales con exponentes racionales

📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Saberes previos: La operación contraria a la potenciación es la radicación; se usa para hallar la base de una potencia y resolver problemas con raíces. El exponente $\frac{1}{2}$ representa una raíz cuadrada.

📚 theory Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 24

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

La operación contraria a la potenciación es la radicación. Se aplica para encontrar la base de una potencia cuando se conocen el resultado y el exponente. Por ejemplo, como $11^2=121$ , entonces $\sqrt{121}=11$ .

Raíz n-ésima

Si $n$ es un entero positivo, la raíz n-ésima principal de $a$ se define mediante:

$\sqrt[n]{a}=b \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a$

También puede escribirse como una potencia con exponente racional:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Cuando $n$ es par, el radicando debe cumplir $a\geq 0$ y la raíz principal es no negativa. Cuando $n$ es impar, se pueden calcular raíces de números positivos y negativos.

Ejemplos de raíces

$\sqrt{121}=11$ , porque $11^2=121$ .
$\sqrt[3]{-64}=-4$ , porque $(-4)^3=-64$ .
$\sqrt{-4}$ no está definida en $\mathbb{R}$ , porque el cuadrado de todo número real es no negativo.

Interpretación del exponente racional

En la expresión de la velocidad del sonido:

$v_s=\left(\frac{E}{\rho}\right)^{\frac{1}{2}}$

el exponente $\frac{1}{2}$ indica una raíz cuadrada. Por tanto:

$v_s=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

En general, el exponente $\frac{1}{n}$ representa una raíz n-ésima:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Propiedades de las raíces n-ésimas

Producto de radicales con el mismo índice

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

Ejemplo:

$\sqrt[3]{-27}\cdot\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{-27\cdot64}=(-3)(4)=-12$

Cociente de radicales con el mismo índice

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}},\quad b\neq 0$

Ejemplo:

$\sqrt{\frac{100}{49}}=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}}=\frac{10}{7}$

Potencia de un radical

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$

Ejemplo:

$\left(\sqrt{2}\right)^5=\sqrt{2^5}$

Raíz de una raíz

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$

Ejemplo:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$

Además, para todo $a\in\mathbb{R}$ y $n\in\mathbb{Z}$ se cumple:

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$

$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}a, & \text{si } n \text{ es impar},\\ |a|, & \text{si } n \text{ es par}.\end{cases}$

Contenido de la página

Números reales con exponentes racionales

La radicación es la operación inversa de la potenciación. La raíz n-ésima se expresa como $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ . La página presenta ejemplos de raíces reales y cuatro propiedades de los radicales: producto, cociente, potencia y raíz de una raíz.

Ejemplos resueltos

Calcular $\sqrt{121}$ .

$\sqrt{121}=11$ , porque $11^2=121$ .

Calcular $\sqrt[3]{-64}$ .

$\sqrt[3]{-64}=-4$ , porque $(-4)^3=-64$ .

Simplificar $\sqrt{\frac{100}{49}}$ .

$\sqrt{\frac{100}{49}}=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}}=\frac{10}{7}$ .

Tabla

Propiedad	Regla	Ejemplo
Producto	$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$	$\sqrt[3]{-27}\cdot\sqrt[3]{64}=-12$
Cociente	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$	$\sqrt{\frac{100}{49}}=\frac{10}{7}$
Potencia	$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$	$\left(\sqrt{2}\right)^5=\sqrt{2^5}$
Raíz de una raíz	$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$	$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$

Fórmulas y ecuaciones

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$

$\sqrt[n]{a}$ =b $\Longleftrightarrow$ $b^n=a$

$\sqrt[n]{a}@@MATH_0@@\frac{1}{n}$ }

$v_s=\left(@@MATH_0@@\right)^{$ $\frac{1}{2}$ }= $\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

$\sqrt[n]{a}@@MATH_0@@\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{ab}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ = $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

$\left(@@MATH_0@@\right)^m=$ $\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[nm]{a}$

Glosario (5)

Radicación: Operación inversa de la potenciación que permite hallar la base de una potencia.
Raíz n-ésima: Número $b$ que cumple $b^n=a$; se representa como $\sqrt[n]{a}$.
Índice: Número que indica el tipo de raíz, por ejemplo, $2$ en la raíz cuadrada o $3$ en la raíz cúbica.
Radicando: Número o expresión ubicada dentro del signo radical.
Exponente racional: Exponente expresado como una fracción, por ejemplo $\frac{1}{n}$, que puede representar una raíz.

Preguntas para practicar

¿Cuál es la operación contraria a la potenciación y en qué se aplica?

Temas y conceptos clave

Definición de raíz n-ésimaExponentes racionalesRaíces cuadradas y cúbicasPropiedades de los radicalesRadicaciónRaíz n-ésima principalÍndiceRadicandoExponente racionalProducto y cociente de radicalesRaíz de una raíz

Fuentes y referencias

Archivo Editorial
Recurso digital: lynk.ec/10m02

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Figuras de la página (1)

Recuadro informativo sobre la velocidad del sonido en distintos metales. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se relacionan las raíces con los exponentes racionales?

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¿Cuáles son las propiedades de las raíces n-ésimas?

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¿Por qué la raíz cuadrada de un número negativo no pertenece a los números reales?

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📌 Antes de leer esto

• Potenciación con números reales
• Leyes de los exponentes
• Operaciones con fracciones
• Números enteros y valor absoluto

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La velocidad del sonido en el metal, varía. Por ejemplo, es rápido en el hierro y lento en el plomo.

0 ¿Sabías que?

Va ER,n EZ entonces:

(46) =s a - i sin, es impar

la|, sin es par

Ws Competencia digital

Para conocer mas acerca de este tema,

Numeros reales con exponentes racionales

(E) Saberes previos

¿Cuál es la operación contraria a la potenciación? ¿En qué se aplica?

Un exponente racional se escribe en forma de fracción, su uso ayuda a resolver un

sinnúmero de problemas de forma ágil y fácil. Veamos en qué consiste. 1

2 La velocidad del sonido en los sólidos está dada por la expresión: v, (5) , donde

E es el módulo de Young y p es la densidad. De esta manera, se puede calcular la velocidad del sonido en el acero, que es aproximadamente de 5 148 m/s. ¿Cuál es 1

el significado del exponente de la expresión Al ? p

Definición de raíz n-ésima. Si n es cualquier entero positivo, entonces, la

raíz n-ésima principal de a se define como “a =b. Si se cumple que b”=a, la 1

operación XÍa se puede escribir como a’.

| Simesun número natural par, entonces a>0yb>0,

Ejemplos a) ¥121=11, porque 11?=121, b) /264 =-4, porque (-4)*=-64, c) V-4 = noestá definido IR, el cuadrado de cualquier número real es positivo. o . a sd EP. E Si miramos el ejemplo inicial, la expresión v, =|=| es igual a v, = ,/—, es decir, p p

-el exponente fraccionario 3 implica que es una raíz cuadrada.

Propiedades de las raíces n-ésimas

Propiedad | Notación | Ejemplos

Producto de radicales del

mismo indice. Multiplicamos | VA PER; myn € Z* | 3-27-64 = 3-27 164 = los radicandos y dejamos el Ya -x/b = fab O |]

mismo índice.

Cociente de radicales del mismo índice. Dividimos los radicandos y dejamos el

Va bER; myn EZ 100 f100 10

va fa 49 Jas 7

iynkec/10m02 mismo índice. ab Nb

sma nuoeme recone Potencia de radicales. . EZ

a Elevamos el radicando a la Ma pet myo EZ ( 2) -/P E pa potencia y se deja el indice (va y =Y/g7

E oon de la raíz.

re _

Raiz de una raiz. Obtenemos otra raíz cuyo índice es el producto del índice de las raíces y el mismo radicando.

Va bER; myn EZ*

da = "ela Vil64 = 64 =2

Archivo Editorial

M.4.1.35. Calcular raíces cuadradas de números reales no negativos y raíces cúbicas de números reales, aplicando las propiedades en R. M.4.1,37. Identificar las raíces como potencias con exponentes racionales para calcular potencias de números reales no negativos con exponentes racionales en R.

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