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Relaciones trigonométricas

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Respuesta rápida

Una razón trigonométrica es el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo relacionado con un ángulo agudo. Las razones principales son seno, coseno y tangente; sus recíprocas son cosecante, secante y cotangente.

📚 theory Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 224

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Explicación

Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Cuando se mantiene un ángulo agudo, esta razón permanece constante, aunque cambie el tamaño del triángulo, porque los triángulos con un ángulo agudo congruente son semejantes por el criterio ángulo-ángulo.

En un triángulo rectángulo:

Los catetos son los lados que forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y también el lado de mayor longitud.
El cateto opuesto está frente al ángulo agudo considerado.
El cateto adyacente forma uno de los lados del ángulo agudo considerado, pero no es la hipotenusa.

Razones trigonométricas

Si respecto del ángulo $\alpha$ el cateto opuesto mide $a$ , el cateto adyacente mide $b$ y la hipotenusa mide $c$ , entonces:

Seno: $\operatorname{Sen}(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{c}$
Coseno: $\operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{b}{c}$
Tangente: $\operatorname{Tan}(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{a}{b}$
Cosecante: $\operatorname{Csc}(\alpha)=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}=\frac{c}{a}$
Secante: $\operatorname{Sec}(\alpha)=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{c}{b}$
Cotangente: $\operatorname{Cot}(\alpha)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}=\frac{b}{a}$

Las razones cosecante, secante y cotangente son las recíprocas del seno, coseno y tangente, respectivamente.

Contenido de la página

Ideas principales

Los triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo congruente son semejantes. Por ello, la razón entre dos lados correspondientes es constante.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y los otros dos lados son los catetos. Para un ángulo agudo determinado, uno de los catetos es opuesto y el otro es adyacente.

Las razones trigonométricas se forman al dividir las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. Su valor depende del ángulo agudo y no del tamaño del triángulo.

Tabla

Razón	Definición	En la figura
Seno	$\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$	$\frac{a}{c}$
Coseno	$\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$	$\frac{b}{c}$
Tangente	$\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$	$\frac{a}{b}$
Cosecante	$\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}$	$\frac{c}{a}$
Secante	$\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}$	$\frac{c}{b}$
Cotangente	$\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}$	$\frac{b}{a}$

Fórmulas y ecuaciones

Seno = cateto opuesto dividido para hipotenusa

Coseno = cateto adyacente dividido para hipotenusa

Tangente = cateto opuesto dividido para cateto adyacente

Cosecante = hipotenusa dividida para cateto opuesto

Secante = hipotenusa dividida para cateto adyacente

Cotangente = cateto adyacente dividida para cateto opuesto

$\operatorname{Sen}(\alpha)=\frac{a}{c}$

$\operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{b}{c}$

$\operatorname{Tan}(\alpha)=\frac{a}{b}$

$\operatorname{Csc}(\alpha)=\frac{c}{a}$

$\operatorname{Sec}(\alpha)=\frac{c}{b}$

$\operatorname{Cot}(\alpha)=\frac{b}{a}$

Glosario (6)

Razón trigonométrica: Cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo asociado con un ángulo agudo.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud en un triángulo rectángulo.
Cateto opuesto: Cateto que se encuentra frente al ángulo agudo considerado.
Cateto adyacente: Cateto que forma uno de los lados del ángulo agudo considerado.
Triángulos semejantes: Triángulos que tienen la misma forma y cuyos lados correspondientes son proporcionales.

Preguntas para practicar

¿Qué es una razón trigonométrica?

¿Por qué las razones trigonométricas no dependen del tamaño del triángulo?

¿Cómo se determina cuál es el cateto opuesto y cuál es el cateto adyacente?

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasElementos del triángulo rectánguloSeno, coseno y tangenteRazones trigonométricas recíprocasTriángulo rectánguloCatetosHipotenusaCateto opuestoCateto adyacenteSenoCosenoTangenteCosecanteSecanteCotangente

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Figuras de la página (4)

Tres triángulos rectángulos semejantes con un ángulo agudo congruente; sus lados están representados con las letras a, b, c, d, e, f, g, h e i. — Figura 2 image

Figura 3 image

Recuadro histórico sobre el conocimiento de las razones trigonométricas por los matemáticos egipcios. — Figura 4 image

Recuadro de interculturalidad sobre la Ley Orgánica de Educación Intercultural del Ecuador. — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una razón trigonométrica?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se identifican el cateto opuesto y el cateto adyacente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre seno, coseno y tangente?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer los lados y ángulos de un triángulo rectángulo
• Comprender el concepto de cociente entre dos cantidades
• Identificar triángulos semejantes

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Cálculo de razones trigonométricas en triángulos rectángulos

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Indaga. ¿Qué es una razón trigonométrica?

Observemos los siguientes triángulos rectángulos, que a su vez tienen un ángulo

i agudo congruente. 2 É : ; Triángulo rectángulo | a a d e h (sabías quer : Hace más de 5 000 B c AE f D He fl G

afios, los matematicos

egipcios conocían la Los triángulos anteriores son semejantes por el criterio de semejanza ángulo-

relación entre el valor ángulo. Si se conoce uno de los ángulos agudos del triángulo, la razón entre dos de las razones de las lados del triángulo es constante. longitudes de los lados En todo triángulo rectángulo, los catetos son los lados p

y la medida de los

aboulosaghdesen a que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado Hipotenusa opuesto triángulo rectángulo. más grande del triángulo, opuesto al ángulo recto. Esos valores eran útiles El cateto adyacente es aquel que forma un lado del, Aa . en la determinación de ángulo agudo que se está empleando. Sdyacente distancias imposibles de medir directamente Razones trigonométricas or ello, se y ke : ; . OR NOS El valor de cada razón trigonométrica es independiente de la medida de los trigonométricas, lados del triángulo rectángulo, porque solo depende del valor del ángulo agudo empleado. ES e | Razón trigonométrica Definición | En la figura Y Ss Sen (a) cateto opuesto a i eno hipotenusa Cc cateto adyacente b $ Interculturalidad Coseno Cos(a) hipotenusa E La Ley Orgánica de la team hs | Educación Intercultural Tangente Tan(a) eae = | (Ecuador, 2011) estipula Y b | la contextualización, ii | valoración, respeto, Cosecante Gc(a) pores. = E | desarrollo y cateto opuesto a transversalización de la : interculturalidad en el secante Sec(a) E £ sistema de educación cateto adyacente b nacional, Así, se busca | fomentar la diversidad Corea Cot(a) cateto adyacente 6 | cultural y lingúística. cateto opuesto a

M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos.

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