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Resolución de triángulos rectángulos

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $\operatorname{sen}(\alpha)=\frac{7}{15}$ , $\cos(\alpha)=\frac{8}{15}$ , $\tan(\alpha)=\frac{7}{8}$ , $\operatorname{csc}(\alpha)=\frac{15}{7}$ , $\sec(\alpha)=\frac{15}{8}$ , $\cot(\alpha)=\frac{8}{7}$ .

b) $c=10\ \text{cm}$ , $b\approx 8,66\ \text{cm}$ , $\angle B=60^\circ$ . Las razones respecto de $A$ son $\operatorname{sen}(A)=0,5$ , $\cos(A)\approx0,866$ , $\tan(A)\approx0,577$ , $\operatorname{csc}(A)=2$ , $\sec(A)\approx1,155$ y $\cot(A)\approx1,732$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 225

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Ejemplo a: razones trigonométricas

En el triángulo, respecto del ángulo $\alpha$ ubicado en $A$ , el cateto opuesto mide $7\ \text{cm}$ , el cateto adyacente mide $8\ \text{cm}$ y la hipotenusa mide $15\ \text{cm}$ .

Por definición:

$\operatorname{sen}(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{7}{15}$

$\cos(\alpha)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{8}{15}$

$\tan(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{7}{8}$

Las razones recíprocas son:

$\operatorname{csc}(\alpha)=\frac{15}{7},\qquad \sec(\alpha)=\frac{15}{8},\qquad \cot(\alpha)=\frac{8}{7}$

Ejemplo b: resolución del triángulo

Datos: $a=5\ \text{cm}$ , $\angle A=30^\circ$ y $\angle C=90^\circ$ .

Ejercicio 1

Hallar la hipotenusa

El lado $a$ es opuesto al ángulo $A$ y $c$ es la hipotenusa:

$\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{5}{c}$

Como $\operatorname{sen}(30^\circ)=0,5$ :

$c=\frac{5}{\operatorname{sen}(30^\circ)}=\frac{5}{0,5}=10\ \text{cm}$

Ejercicio 2

Hallar el cateto $b$

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

$b=\sqrt{c^2-a^2}$

$b=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}\approx 8,66\ \text{cm}$

Ejercicio 3

Hallar el ángulo $B$

La suma de los ángulos internos es $180^\circ$ :

$30^\circ+\angle B+90^\circ=180^\circ$

$\angle B=60^\circ$

Ejercicio 4

Escribir las razones trigonométricas respecto del ángulo $A$

$\operatorname{sen}(A)=\frac{5}{10}=0,5$

$\cos(A)=\frac{8,66}{10}=0,866$

$\tan(A)=\frac{5}{8,66}\approx 0,577$

Sus razones recíprocas son:

$\operatorname{csc}(A)=\frac{10}{5}=2,\qquad \sec(A)=\frac{10}{8,66}\approx 1,155,\qquad \cot(A)=\frac{8,66}{5}\approx 1,732$

Uso de la calculadora

Para calcular una razón trigonométrica se emplean las teclas $\operatorname{sen}$ , $\cos$ o $\tan$ . La calculadora debe estar configurada en grados cuando se trabaja con ángulos como $30^\circ$ .

Interdisciplinariedad: matemática y medicina

La matemática ayuda a la medicina a analizar datos de salud, estudiar factores de riesgo, calcular dosis, interpretar resultados y reconocer tendencias en las enfermedades. Por ello, ambas disciplinas trabajan juntas para tomar decisiones y mejorar la atención de las personas.

Contenido de la página

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar las medidas de todos sus lados y ángulos. Los catetos se representan con $a$ y $b$ , mientras que la hipotenusa se representa con $c$ .

Respecto de un ángulo agudo, las razones principales son el seno, el coseno y la tangente. Sus razones recíprocas son la cosecante, la secante y la cotangente.

Para resolver un triángulo se pueden combinar las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la suma de los ángulos internos. La calculadora debe utilizarse en modo grados para calcular expresiones como $\operatorname{sen}(30^\circ)$ .

Ejemplos resueltos

Escribir las razones trigonométricas del triángulo rectángulo con catetos de $7\ \text{cm}$ y $8\ \text{cm}$ , e hipotenusa de $15\ \text{cm}$ , respecto del ángulo $\alpha$ .

$\operatorname{sen}(\alpha)=\frac{7}{15}$ , $\cos(\alpha)=\frac{8}{15}$ , $\tan(\alpha)=\frac{7}{8}$ , $\operatorname{csc}(\alpha)=\frac{15}{7}$ , $\sec(\alpha)=\frac{15}{8}$ y $\cot(\alpha)=\frac{8}{7}$ .

Resolver un triángulo rectángulo con $a=5\ \text{cm}$ , $\angle A=30^\circ$ y $\angle C=90^\circ$ .

Se obtiene $c=10\ \text{cm}$ , $b\approx8,66\ \text{cm}$ y $\angle B=60^\circ$ . Luego se calculan las seis razones trigonométricas respecto de $A$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{csc}(\alpha)=\frac{1}{\operatorname{sen}(\alpha)}$

$\sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}$

$\cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}$

$b=\sqrt{c^2-a^2}$

$\operatorname{sen}@@MATH_0@@\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\cos(\alpha)=$ $\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\tan(\alpha)=$ $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

c= $\sqrt{a^2+b^2}$

$A+B+C=180^\circ$

Glosario (4)

Hipotenusa: Lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo; se encuentra frente al ángulo recto.
Cateto opuesto: Lado que está frente al ángulo de referencia.
Cateto adyacente: Cateto que está junto al ángulo de referencia, sin ser la hipotenusa.
Razón trigonométrica: Cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.

Preguntas para practicar

¿Qué aplicaciones de la matemática conoces en el campo de la medicina?

Temas y conceptos clave

Resolución de triángulos rectángulosRazones trigonométricasTeorema de PitágorasUso de la calculadoraMatemática y medicinacateto opuestocateto adyacentehipotenusasenocosenotangenterazones recíprocasángulos complementarios

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Figuras de la página (1)

Triángulo rectángulo con $a=5\ \text{cm}$, ángulo $A=30^\circ$, cateto $b$ e hipotenusa $c$. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calculan las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo?

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¿Cómo hallar la hipotenusa usando el seno de un ángulo?

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¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar un cateto?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
• Conocer seno, coseno y tangente
• Aplicar el teorema de Pitágoras
• Conocer que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^\circ$

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de la trigonometría en problemas geométricos y situaciones reales

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Resolución de triángulos rectángulos Ejemplos

Escribir las razones trigonométricas del triángulo rectángulo ABC. Solución

7 8 7 Sena) ==; Cos(a) == Tan(a)=— c=15cm, a=7cm 15 8 Gcla)=S Sec(a)=— Cor(a)=>

A“ b=8cm E

Resolver el siguiente triángulo rectángulo y escribir todas las razones trigo- nométricas.

Solución B c Resolver el triángulo rectángulo consiste en hallar las a=5cm medidas de todos los lados y ángulos. ‘a 5 -, ay b son los catetos, y c es la hipotenusa.

Primero: hallamos la medida de la hipotenusa.

Sen(30°) ==, despejando la incógnita c, empleamos una calculadora para €

calcular el sen(30°)

5 5 ¿=== =10c0m Sen(30°) 0,5

Segundo: encontramos la medida del lado 6, para lo cual aplicaremos el teo- rema de Pitágoras.

b=vc?-a’ Reemplazando los datos: b=4110?-5* =8,66 cm

Tercero: determinamos la medida del ángulo B. Como aprendimos en temas anteriores, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180”, por lo tan- to, si conocemos el valor de dos ángulos, por sumatoria, obtenemos el valor del tercer ángulo.

XZA+ £B+ KC =180°; 30%+xB+90"=180” XB=60"

Cuarto: escribimos las razones trigonométricas con relación al ángulo A.

8,66. mE sen(a)= 5: Cos(a)== > ; Tan(a) 566

10, 10. _8,66 Gc(a) == NET, Cot (a) E

um Usodela

calculadora

Para encontrar el valor de una razón

trigonométrica, se utilizan las teclas: sen, cos, tan. Por ejemplo:

Tecla shift, segunda función

Teclas de razones trigonométricas

Archivo editorial.

Para hallar el seno de 30° se ingresa Sen30.

Uy ora

Cuando en un grupo hay personas con discapacidad, es importante coordinar tiempos que resulten cómodos y adecuados

para la realización

0 exposicion de los

trabajos.

Sao ERA ¿gto Interdisciplinariedad

Matemática y Medicina

En la medicina, la matemática tiene una gran importancia. Ayuda a conocer

las problemáticas presentes en una comunidad, los factores de riesgo o predisposición a ciertas patologías y puede ser muy útil a la hora de buscar una respuesta para las enfermedades.

Indaga y elabora un párrafo acerca de la relación entre la matemática y la medicina.

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