Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Resolución

Se utilizan las relaciones:

\sen(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}

y sus recíprocas:

\csc(\theta)=\frac{1}{\sen(\theta)},\quad \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)},\quad \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}.

a) La hipotenusa mide 24 y un cateto mide 12.

AC=\sqrt{24^2-12^2}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\approx20,78

Por tanto:

\sen(25^\circ)=\frac{12}{24}=\frac{1}{2} \cos(25^\circ)=\frac{12\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{2} \tan(25^\circ)=\frac{12}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \csc(25^\circ)=2,\quad \sec(25^\circ)=\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot(25^\circ)=\sqrt{3}

b) La hipotenusa mide 52\,\text{m} y un cateto mide 48\,\text{m}.

x=\sqrt{52^2-48^2}=\sqrt{784}=28\,\text{m}

Por tanto:

\sen(38^\circ)=\frac{28}{52}=\frac{7}{13} \cos(38^\circ)=\frac{48}{52}=\frac{12}{13} \tan(38^\circ)=\frac{28}{48}=\frac{7}{12} \csc(38^\circ)=\frac{13}{7},\quad \sec(38^\circ)=\frac{13}{12},\quad \cot(38^\circ)=\frac{12}{7}

c) La hipotenusa mide 100\,\text{m} y un cateto mide 85\,\text{m}.

x=\sqrt{100^2-85^2}=\sqrt{2775}=5\sqrt{111}\approx52,68\,\text{m}

Por tanto:

\sen(55^\circ)=\frac{85}{100}=\frac{17}{20} \cos(55^\circ)=\frac{5\sqrt{111}}{100}=\frac{\sqrt{111}}{20} \tan(55^\circ)=\frac{85}{5\sqrt{111}}=\frac{17}{\sqrt{111}} \csc(55^\circ)=\frac{20}{17},\quad \sec(55^\circ)=\frac{20}{\sqrt{111}},\quad \cot(55^\circ)=\frac{\sqrt{111}}{17}

En el punto P(x_1,y_1), el cateto horizontal mide x_1, el cateto vertical mide y_1 y la hipotenusa mide:

\sqrt{x_1^2+y_1^2}

Entonces:

\tan(\alpha)=\frac{y_1}{x_1},\quad \sen(\alpha)=\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},\quad \cos(\alpha)=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}

Las opciones correctas son e, f y d, respectivamente.

a) Es falsa, porque las razones trigonométricas se aplican principalmente a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, no a un ángulo obtuso. F

b) Es falsa, porque el coseno es el cateto adyacente dividido para la hipotenusa. F

La hipotenusa es a=32,5 y el ángulo C=67^\circ. Como A=90^\circ:

B=180^\circ-90^\circ-67^\circ=23^\circ

Respecto al ángulo C, b es el cateto adyacente y c es el cateto opuesto:

b=a\cos(67^\circ)=32,5\cos(67^\circ)\approx12,70

c=a\sen(67^\circ)=32,5\sen(67^\circ)\approx29,92

Las razones trigonométricas del ángulo C son:

\sen(67^\circ)\approx0,921,\quad \cos(67^\circ)\approx0,391,\quad \tan(67^\circ)\approx2,356

\csc(67^\circ)\approx1,086,\quad \sec(67^\circ)\approx2,560,\quad \cot(67^\circ)\approx0,424

Las razones del ángulo B=23^\circ son:

\sen(23^\circ)\approx0,391,\quad \cos(23^\circ)\approx0,921,\quad \tan(23^\circ)\approx0,424

\csc(23^\circ)\approx2,560,\quad \sec(23^\circ)\approx1,086,\quad \cot(23^\circ)\approx2,356