Inciso b: calcula sen(71^), (71^), (71^), csc(71^), sec(71^) y cot(71^).

0.9455, 0.3256, 2.9042, 1.0576, 3.0716, 0.3443

Inciso c: calcula las seis razones trigonométricas del ángulo de 15^.

0.2588, 0.9659, 0.2679, 3.8637, 1.0353, 3.7321

Encuentra las medidas de los lados faltantes en cada triángulo rectángulo de los incisos a, b y c.

a) b≈93.53 cm, c=108 cm; b) 456.18 cm, 510.71 cm; c) a≈475.51 cm, c≈581.06 cm

Investiga dos aplicaciones cotidianas de las razones trigonométricas y plantea problemas con esos datos.

Ejemplos: edificio a 18 m y ángulo 38^; rampa de 4 m y ángulo 12^.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Aplicación de las razones trigonométricas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

4b: $\operatorname{sen}(71^\circ)\approx0.9455$ , $\cos(71^\circ)\approx0.3256$ , $\tan(71^\circ)\approx2.9042$ , $\operatorname{csc}(71^\circ)\approx1.0576$ , $\operatorname{sec}(71^\circ)\approx3.0716$ , $\operatorname{cot}(71^\circ)\approx0.3443$ .

4c: $\operatorname{sen}(15^\circ)\approx0.2588$ , $\cos(15^\circ)\approx0.9659$ , $\tan(15^\circ)\approx0.2679$ , $\operatorname{csc}(15^\circ)\approx3.8637$ , $\operatorname{sec}(15^\circ)\approx1.0353$ , $\operatorname{cot}(15^\circ)\approx3.7321$ .

5: a) $29.24\,u$ ; b) $27.47\,u$ ; c) $6.93\,u$ ; d) $19.32\,u$ ; e) $5.18\,u$ ; f) $12.50\,u$ .

6: altura $\approx6.40\,\text{m}$ ; distancia $\approx8.12\,\text{m}$ .

7: a) $b\approx93.53\,\text{cm}$ , $c=108\,\text{cm}$ ; b) cateto adyacente $\approx456.18\,\text{cm}$ , hipotenusa $\approx510.71\,\text{cm}$ ; c) $a\approx475.51\,\text{cm}$ , $c\approx581.06\,\text{cm}$ .

8: a) $10.07\,\text{cm}$ ; b) $153.71\,\text{m}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 227

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Razones trigonométricas

Parte 4.b

Triángulo con ángulo de $71^\circ$ y $b=122\,\text{m}$

Respecto del ángulo de $71^\circ$ , $a$ es el cateto opuesto, $b$ es el cateto adyacente y $c$ es la hipotenusa.

[ $\operatorname{sen}@@MATH_0@@(71^\circ)=@@MATH_1@@\approx$ 1.0576 ] [ $\sec(71^\circ)=@@MATH_2@@\approx$ 3.0716 ] [ $\cot(71^\circ)=@@MATH_3@@\approx$ 0.3443 ]

Parte 4.c

Triángulo con ángulo de $15^\circ$ y $x=26\,\text{m}$

Respecto del ángulo de $15^\circ$ , $x$ es el cateto opuesto, $z$ es el cateto adyacente y $y$ es la hipotenusa. Las razones dependen únicamente del ángulo:

[ $\operatorname{sen}@@MATH_0@@(15^\circ)\approx$ 3.8637 ] [ $\sec(15^\circ)\approx$ 1.0353 ] [ $\cot(15^\circ)\approx$ 3.7321 ]

Ejercicio 5

Longitud de segmentos

En el triángulo, $a$ es la hipotenusa, $b$ es el cateto opuesto al ángulo $B$ y $c$ es el cateto adyacente.

Parte 5.a

[ $\operatorname{sen}@@MATH_0@@\frac{b}{a}$ ] [ a= $\frac{10}{\operatorname{sen}(20^\circ)}$ $\approx$ $29.24\,u$ ]

Parte 5.b

[ $\tan(20^\circ)=@@MATH_0@@\approx$ $27.47\,u$ ]

Parte 5.c

El ángulo es $C=30^\circ$ y $c=8\,u$ es la hipotenusa. El lado $b$ es adyacente a $C$ :

[ $\cos(30^\circ)=$ $\frac{b}{c}$ ] [ $b=8\cos(30^\circ)\approx$ $6.93\,u$ ]

Parte 5.d

El ángulo es $B=15^\circ$ y $a=20\,u$ es la hipotenusa. El lado $c$ es adyacente:

[ $\cos(15^\circ)=$ $\frac{c}{a}$ ] [ $c=20\cos(15^\circ)\approx$ $19.32\,u$ ]

Parte 5.e

El lado $b$ es opuesto al ángulo $B=15^\circ$ :

[ $\operatorname{sen}@@MATH_0@@\frac{b}{20}$ ] [ b=20 $\operatorname{sen}$ $(15^\circ)\approx$ $5.18\,u$ ]

Parte 5.f

El ángulo es $C=60^\circ$ y $a=25\,u$ es la hipotenusa. El lado $b$ es adyacente a $C$ :

[ $\cos(60^\circ)=$ $\frac{b}{25}$ ] [ $b=25\cos(60^\circ)=12.50\,u$ ]

Ejercicio 6

Altura de un árbol

La distancia horizontal es $5\,\text{m}$ y el ángulo de elevación es $52^\circ$ .

[ $\tan(52^\circ)=@@MATH_0@@\frac{5}{d}$ ] [ d= $\frac{5}{\cos(52^\circ)}$ $\approx$ $8.12\$ , $\text{m}$ ]

Ejercicio 7

Medidas faltantes

Parte 7.a

Se conoce el cateto adyacente $a=54\,\text{cm}$ y el ángulo $R=60^\circ$ .

[ $b=54\tan(60^\circ)\approx$ $93.53\$ , $\text{cm}$ ] [ c= $\frac{54}{\cos(60^\circ)}$ $=108\$ , $\text{cm}$ ]

Parte 7.b

El cateto opuesto al ángulo de $27^\circ$ mide $232\,\text{cm}$ .

[ $\tan(27^\circ)=@@MATH_0@@\approx$ $456.18\$ , $\text{cm}$ ]

Para la hipotenusa:

[ $\operatorname{sen}@@MATH_1@@\frac{232}{c}$ ] [ c= $\frac{232}{\operatorname{sen}(27^\circ)}$ $\approx$ $510.71\$ , $\text{cm}$ ]

Parte 7.c

Se conoce el cateto opuesto $b=333\,\text{cm}$ y el ángulo de $35^\circ$ .

[ $\tan(35^\circ)=@@MATH_0@@\approx$ $475.51\$ , $\text{cm}$ ]

Para la hipotenusa:

[ $\operatorname{sen}@@MATH_1@@\frac{333}{c}$ ] [ c= $\frac{333}{\operatorname{sen}(35^\circ)}$ $\approx$ $581.06\$ , $\text{cm}$ ]

Ejercicio 8

Problemas

Parte 8.a

Altura del triángulo

[ $\tan(40^\circ)=$ $\frac{h}{12}$ ] [ $h=12\tan(40^\circ)\approx$ $10.07\$ , $\text{cm}$ ]

Parte 8.b

Longitud del hilo de la cometa

La distancia horizontal es $65\,\text{m}$ y el hilo forma un ángulo de $65^\circ$ con el suelo. El hilo es la hipotenusa:

[ $\cos(65^\circ)=@@MATH_0@@\approx$ $153.71\$ , $\text{m}$ ]

Ejercicio 9

Actividad indagatoria

Dos aplicaciones de las razones trigonométricas son:

Medición de alturas: para calcular la altura de un edificio se mide una distancia horizontal y el ángulo de elevación hacia la parte superior.
Construcción de rampas: se emplean el ángulo y la longitud de la rampa para determinar su altura o la distancia horizontal que ocupa.

Problemas planteados:

Una persona se ubica a $18\,\text{m}$ de un edificio y observa su parte superior con un ángulo de elevación de $38^\circ$ . ¿Cuál es la altura del edificio?
Una rampa mide $4\,\text{m}$ y forma un ángulo de $12^\circ$ con el suelo. ¿Qué altura alcanza?

Contenido de la página

La página aplica las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Para un ángulo agudo se usan las relaciones $\operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ , $\cos(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ y $\tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ . Las razones recíprocas son $\operatorname{csc}(\theta)$ , $\operatorname{sec}(\theta)$ y $\operatorname{cot}(\theta)$ . Finalmente, se plantean problemas de alturas, distancias, árboles, rampas y cometas.

Ejemplos resueltos

Una persona está a $5\,\text{m}$ de un árbol y observa su punta con un ángulo de $52^\circ$ . Determina la altura del árbol.

$h=5\tan(52^\circ)\approx6.40\,\text{m}$ .

Una base mide $12\,\text{cm}$ y el ángulo entre la hipotenusa y la base es $40^\circ$ . Determina la altura.

$h=12\tan(40^\circ)\approx10.07\,\text{cm}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\cos(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$

$\operatorname{sen}@@MATH_0@@\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\cos(\theta)=$ $\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\tan(\theta)=$ $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

$\operatorname{csc}@@MATH_0@@\frac{1}{\operatorname{sen}(\theta)}$

$\operatorname{sec}@@MATH_0@@\frac{1}{\cos(\theta)}$

$\operatorname{cot}@@MATH_0@@\frac{1}{\tan(\theta)}$

Glosario (4)

Hipotenusa: Lado más largo de un triángulo rectángulo; está frente al ángulo recto.
Cateto opuesto: Lado que se encuentra frente al ángulo de referencia.
Cateto adyacente: Cateto que forma uno de los lados del ángulo de referencia.
Ángulo de elevación: Ángulo formado entre una línea horizontal y la visual dirigida hacia un punto más alto.

Preguntas para practicar

¿Por qué la hipotenusa siempre es el lado más largo?

¿Qué razón trigonométrica conviene usar para hallar una altura cuando se conoce la base?

¿Cómo se aplica la trigonometría para medir objetos sin subir a ellos?

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasCálculo de lados en triángulos rectángulosAplicaciones de la trigonometríaSenoCosenoTangenteCosecanteSecanteCotangenteÁngulo de elevaciónHipotenusa

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Figuras de la página (3)

Triángulo rectángulo con ángulo de $15^\circ$ y cateto vertical de $26\,\text{m}$. — Figura 2 image

Tres triángulos rectángulos de aplicación para hallar lados faltantes. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula un lado desconocido usando seno, coseno o tangente?

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¿Cómo hallar la altura de un árbol con un ángulo de elevación?

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¿Cuál es la diferencia entre la hipotenusa y los catetos?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente
• Conocer las razones seno, coseno y tangente
• Usar una calculadora en modo grados
• Resolver ecuaciones sencillas

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Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones de los ángulos de elevación

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1394 caracteres

i) Sen(67°) ii) Cos(67°) iii) 7an(67°)

iv) Gc(67°) v) Sec(67°)

vi) Cor(67°)

i) Sen(71°) ii) Cos(71°) iii) Tan(71°)

iv) Gc(71°) vw) Sec(71°) vi) Cot(71°)

sl ees

x=26m

15%

i) Sen(15°) ii) Cs(15°) iii) 7an(15°)

iv) Gc(15°) v) Sec(15°) vi) Cot(15°)

5, Determina, en cada caso, la longitud del segmento indicado, con la ayuda de una calculadora.

A C B

a) XABC =20°, b=104, a=? b) ABC =20°, b=104, c=?

e) ZACB=30", c=8u, b=?

d) XABC =15°, a=204, C=?

e) «ABC =15°, a=20u, b=?

f) XAB=60°, a=25u, b=?

| 6. Resuelve el siguiente problema.

Una persona se encuentra a 5 m de un arbol. Si observa a la punta del árbol con un ángulo de 52°, ¿cuál es la altura del árbol? ¿Cuál es la distancia de la punta del árbol a la persona?

AN Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan.

Encuentren las medidas de los lados que faltan en cada triángulo rectángulo.

a=232 cm

Resuelvan los problemas.

a) Cuál es la altura de un triángulo rectángulo que mide 12 cm de base y el ángulo que forma la hipotenusa con su base es 40°.

b) Una niña vuela una cometa a 65 m de la sombra proyectada perpendicularmente de dicha cometa, y el ángulo formado por la longitud del hilo y el suelo es 65”. ¿Cuál es la longitud del hilo de la cometa?

: Actividad indagatoria

9, Investiga dos aplicaciones en la vida cotidiana de las razones trigonométricas y plantea problemas con esos datos.

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