MisLibrosTexto Prueba nacional
TransformarPor universidad (27)
ESPE — Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
ESPOCH — Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
ESPOL — Escuela Superior Politécnica del Litoral IKIAM — Universidad Regional Amazónica Ikiam
UCE — Universidad Central del Ecuador
UCUENCA — Universidad de Cuenca UEA — Universidad Estatal Amazónica
UEB — Universidad Estatal de Bolívar
UG — Universidad de Guayaquil
ULEAM — Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí
UNACH — Universidad Nacional de Chimborazo
UNAE — Universidad Nacional de Educación
UNEMI — Universidad Estatal de Milagro
UNESUM — Universidad Estatal del Sur de Manabí UNL — Universidad Nacional de Loja
UPEC — Universidad Politécnica Estatal del Carchi
UPSE — Universidad Estatal Península de Santa Elena UTA — Universidad Técnica de Ambato UTB — Universidad Técnica de Babahoyo UTC — Universidad Técnica de Cotopaxi
UTELVT — Universidad Técnica Luis Vargas Torres de Esmeraldas
UTEQ — Universidad Técnica Estatal de Quevedo
UTM — Universidad Técnica de Manabí UTMACH — Universidad Técnica de Machala UTN — Universidad Técnica del Norte MisLibrosTextoDistancia entre los turistas: 230\ \text{m}.
Distancia del turista a la base: aproximadamente 199\ \text{m}.
Ángulo con el que el primer turista observa al segundo: 30^\circ.
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Para encontrar el ángulo con el que se observa la altura de un monumento, se puede formar un triángulo rectángulo entre la altura del monumento, la distancia horizontal del observador y la línea visual. Luego se utiliza una razón trigonométrica, como la tangente, el seno o el coseno, según los datos conocidos.
La altura de la Basílica es b=115\ \text{m} y el ángulo de observación es 60^\circ. La situación forma un triángulo rectángulo.
La distancia entre los turistas corresponde a la hipotenusa c. Aplicamos el coseno:
\cos(60^\circ)=\frac{b}{c}=\frac{115}{c}
Despejamos c:
c=\frac{115}{\cos(60^\circ)}=\frac{115}{0,5}=230\ \text{m}
Por lo tanto, la distancia entre los dos turistas es 230\ \text{m}.
La distancia horizontal a se obtiene mediante el teorema de Pitágoras:
a=\sqrt{c^2-b^2}
Sustituimos los valores:
a=\sqrt{230^2-115^2}\approx199\ \text{m}
El turista que observa la Basílica se encuentra aproximadamente a 199\ \text{m} de su base.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180^\circ. Como uno de los ángulos mide 90^\circ y otro mide 60^\circ:
90^\circ+60^\circ+\angle B=180^\circ
\angle B=30^\circ
El primer turista observa al segundo con un ángulo de 30^\circ.
El ángulo de elevación se forma entre la horizontal del observador y la línea visual hacia un objeto situado por encima de él. El ángulo de depresión se mide entre la horizontal del observador y la línea visual hacia un objeto situado por debajo de él.
Para determinar la distancia entre un observador y la parte más alta de la Basílica del Voto Nacional, se forma un triángulo rectángulo. Se utiliza el coseno para calcular la hipotenusa y el teorema de Pitágoras para hallar la distancia horizontal.
\cos(60^\circ)=\frac{115}{c}
c=230\ \text{m}
a=\sqrt{230^2-115^2}\approx199\ \text{m}
El tercer ángulo del triángulo es:
180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ
La Basílica del Voto Nacional tiene una altura de 115\ \text{m}. Desde la parte superior se observa a otro turista con un ángulo de 60^\circ. Determina la distancia entre los turistas, la distancia horizontal hasta la base y el ángulo con el que el primer turista observa al segundo.
Aplicando el coseno, c=\frac{115}{\cos(60^\circ)}=230\ \text{m}. Luego, por Pitágoras, a=\sqrt{230^2-115^2}\approx199\ \text{m}. Finalmente, el tercer ángulo es 180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}
a^2+b^2=c^2
a=\sqrt{c^2-b^2}
\cos(60^\circ)=\frac{115}{c}
c=\frac{115}{\cos(60^\circ)}=230\ \text{m}
a=\sqrt{c^2-b^2}
a=\sqrt{230^2-115^2}\approx199\ \text{m}
90^\circ+60^\circ+\angle B=180^\circ
\angle B=30^\circ
¿Cómo encontrarías el ángulo con el que miras la altura de un monumento?
228
Shutterstock, 117938887 / 511563886 / 208526053.
Tema 4
Vista a la Basílica.
Qrerrraa
El ángulo de elevación es el que forma
la horizontal del observador y el lugar observado cuando este está situado arriba del observador,
El ángulo de depresión es el que se va a
medir por debajo
de la horizontal del observador.
Ys Competencia digital
Ingresa al siguiente enlace: lynk.ec/10m19
Practica relaciones trigonométricas evalúa tu aprendizaje mediante ejercicios interactivos.
Razones trigonométricas en triángulos
Aplicaciones de las relaciones trigonométricas
@ Saberes previos
Reflexiona. ¿Cómo encontrarias el ángulo con el que miras la altura de un monumento?
Una persona viaja a Ecuador a conocer el centro histórico de Quito, declarado Patrimonio Cultural de la Humanidad por la UNESCO. Entre los muchos sitios que visita, se encuentra la Basílica del Voto Nacional, que tiene una altura de 115 m hasta su cúpula más alta. Si desde ahí se encuentra otro turista observando al primer viajero con un ángulo de 60°, ¿cuál es la distancia entre las dos personas? ¿Cuál es la distancia entre el viajero que se encuentra en el suelo al pie de la Basílica? ¿Cuál es el ángulo con el que el primer viajero observa al segundo?
Para resolver este problema, es necesario dibujar la situación como se muestra en la ilustración.
Primero: identifiquemos los datos e incógnitas del problema.
Podemos observar que se forma un triángulo rectángulo, y se conoce un ángulo agudo y el cateto b, siendo las incógnitas la hipotenusa y el cateto a.
Segundo: utilizaremos la razón trigonométrica coseno para determinar la distancia entre ambos turistas.
Cos (60°) = 2. Cos (60°) = LEA Despejando la incógnita c. c c
115
=——— = 230 . Cos (60°)
La distancia entre los dos turistas es 230 m.
Tercero: aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar la distancia entre el primer turista y la base de la Basílica.
a=[e-b?; a=230?-115? =199
El turista se encuentra a 199 m de la base de la iglesia.
Cuarto: encontremos el ángulo con el que el primer turista divisa al segundo. La sumatoria de ángulos internos en un triángulo es 180°, entonces, 90° + 60° + xB=180% £B=30°
El primer turista observa al segundo con un ángulo de 30°.
M.4.2.17. Resolver y plantear problemas que involucren triángulos rectángulos en contextos reales, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del
contexto del problema.
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