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Resolución de problemas con seno y ángulos suplementarios

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Altura: $84,57\,\text{m}$ ; área: $5\,074,2\,\text{m}^2$ .

b) $\angle D=60^\circ$ ; distancia $BC\approx10,39\,\text{km}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 229

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejemplo a: área de una parcela triangular

Se conoce una base de $120\,\text{m}$ , un lado de $90\,\text{m}$ y el ángulo comprendido de $70^\circ$ .

Paso 1: calcular la altura

La altura $h$ forma un triángulo rectángulo. El lado de $90\,\text{m}$ es la hipotenusa y $h$ es el cateto opuesto al ángulo de $70^\circ$ .

$\sin(70^\circ)=\frac{h}{90}$

Despejamos $h$ :

$h=90\sin(70^\circ)$

$h\approx 84,57\,\text{m}$

Paso 2: calcular el área

Usamos la fórmula del área de un triángulo:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Sustituimos los valores:

$A=\frac{120\cdot84,57}{2}=5\,074,2\,\text{m}^2$

Por lo tanto, el área de la parcela es $5\,074,2\,\text{m}^2$ .

Ejemplo b: distancia entre barcos

El ángulo formado por las distancias desde el barco $A$ hasta la boya y desde la boya hasta el barco $C$ es $120^\circ$ . Se trabaja con el triángulo rectángulo $BCD$ .

Paso 1: hallar el ángulo agudo

Los ángulos son suplementarios, por lo que suman $180^\circ$ :

$120^\circ+\angle D=180^\circ$

$\angle D=60^\circ$

Paso 2: calcular la distancia $a=BC$

Aplicamos la razón seno:

$\sin(60^\circ)=\frac{a}{12}$

Despejamos $a$ :

$a=12\sin(60^\circ)\approx10,39\,\text{km}$

La distancia entre los barcos $B$ y $C$ es aproximadamente $10,39\,\text{km}$ .

Uso de la calculadora

Si se conoce el seno de un ángulo, se puede hallar el ángulo aplicando la función seno inversa:

$\sin(\beta)=\frac{a}{b}\Longrightarrow\beta=\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

Por ejemplo, si $\sin(A)=0,86$ , se utiliza la función inversa del seno en la calculadora y se obtiene aproximadamente $A=60^\circ$ .

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a $180^\circ$ .

Contenido de la página

Ideas principales

En un triángulo rectángulo, el seno relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa:

$\sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$
El área de un triángulo se calcula mediante:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$
Dos ángulos suplementarios suman $180^\circ$ .
Para encontrar un ángulo a partir de su seno se emplea la función seno inversa:

$\theta=\sin^{-1}(x)$

Ejemplos resueltos

Para sembrar arroz, Eugenio tiene una parcela triangular cuyos lados miden $90\,\text{m}$ y $120\,\text{m}$ y forman un ángulo de $70^\circ$ . ¿Cuál es el área del terreno?

Se calcula la altura con $\sin(70^\circ)=\frac{h}{90}$ , de donde $h=90\sin(70^\circ)\approx84,57\,\text{m}$ . Luego, $A=\frac{120\cdot84,57}{2}=5\,074,2\,\text{m}^2$ .

Tres barcos forman la configuración mostrada. La distancia desde la boya hasta el barco $C$ es $12\,\text{km}$ y el ángulo dado es $120^\circ$ . ¿Cuál es la distancia entre los barcos $B$ y $C$ ?

Como los ángulos son suplementarios, $\angle D=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ . Después, $\sin(60^\circ)=\frac{a}{12}$ , por lo que $a=12\sin(60^\circ)\approx10,39\,\text{km}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

$\sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\theta=\sin^{-1}(x)$

$\sin(70^\circ)=$ $\frac{h}{90}$

$h=90\sin(70^\circ)$

A= $\frac{b\cdot h}{2}$

$120^\circ+\angle$ $D=180^\circ$

$\sin(60^\circ)=$ $\frac{a}{12}$

$a=12\sin(60^\circ)$

$\sin(\beta)=@@MATH_0@@\Longrightarrow\beta=\sin^{-1}\left(@@MATH_1@@\right)$

Glosario (4)

Seno: Razón entre el cateto opuesto a un ángulo y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo; se encuentra frente al ángulo recto.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es igual a $180^\circ$.
Seno inverso: Función que permite hallar un ángulo cuando se conoce el valor de su seno.

Temas y conceptos clave

Aplicación del senoÁrea de un triánguloDistancias en triángulos rectángulosÁngulos suplementariosUso del seno inverso en la calculadoraSenoHipotenusaCateto opuestoAltura de un triánguloÁrea triangularÁngulos suplementariosFunción seno inversa

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Figuras de la página (1)

Ilustración de tres barcos y una boya que representan dos triángulos rectángulos; se indican distancias de $8\,\text{km}$ y $12\,\text{km}$ y un ángulo de $120^\circ$. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la altura de un triángulo usando el seno?

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¿Cómo se halla el área de un triángulo con base y altura?

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¿Qué son los ángulos suplementarios?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer los lados de un triángulo rectángulo
• Aplicar la fórmula del área de un triángulo
• Manejar grados y calculadora científica
• Comprender el seno de un ángulo

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Aplicación del coseno y la tangente en triángulos rectángulos

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b) Tres barcos se encuentran en una posi-

Ejemplos

a) Para sembrar arroz, Eugenio tiene una parcela triangular cuyos lados miden

90 my 120 my entre ellos forman un ángulo de 70°. ¿Cuál es el área del terreno que se puede sembrar? Solución

Identificar las incógnitas del problema.

Para encontrar el área de un triángulo, necesitamos conocer su base y su altu- ra. En este caso no tenemos el valor de la altura, pero por definición sabemos que la altura es perpendicular a la base y forma un triángulo rectángulo HBC como se muestra en la figura.

Primero: aplicamos la razón trigonométrica sen (70°) para encontrar el valor de h.

Sen (70°) = Zo h=90: Sen(70°); h =84,57m

La altura del triángulo es 84,57 m.

Segundo: hallamos el área de la parcela.

pm Pr, y. 120%84,57 ll

A= =5 074,2

El área del terreno es 5 074,2 m?,

ción tal que entre ellos forman un trián- gulo rectángulo, como se muestra en la figura. El barco A se encuentra a 8 km de una boya marina, y el barco C a dicha boya tiene una distancia de 12 km. El án- gulo entre estas dos distancias es 120°. ¿Cuál es la distancia del barco B al barco C? Solución

Primero: tenemos dos triángulos rectángulos, pero trabajaremos con el trián- gulo BCD. Para hallar la distancia entre las embarcaciones debemos conocer un ángulo agudo. Entonces tenemos que:

120° + XD =180". Por ser ángulos suplementarios, 4D = 60°.

Segundo: encontremos el valor de a, aplicando la razón trigonométrica Sen (60°).

Sen (60°) =; a=12+Sen(60°); h=10,39km

La distancia entre los barcos es 10,39 km.

Archivo editorial.

90m

A H 120m

Terreno en forma triangular.

Uso dela calculadora

Para hallar el ángulo de un triángulo rectángulo, se aplica la inversa de la función trigonométrica que se está utilizando,

a aa sen(B)= > B= Sen (5) Solo se puede hallar el ángulo de un triángulo usando las funciones seno, coseno O tangente.

Para obtener el valor del ángulo en la calculadora, ingresa a: