Resolución de triángulos rectángulos

Resolución

Se emplean las razones trigonométricas:

• \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}
• \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}
• \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}

a) La altura del helicóptero es 100\ \text{m} y el ángulo entre la vertical y la línea de observación es 60^\circ.

Distancia del helicóptero al punto P: \cos 60^\circ=\frac{100}{d} d=\frac{100}{\cos 60^\circ}=200\ \text{m}

Distancia horizontal desde la sombra hasta P: \tan 60^\circ=\frac{a}{100} a=100\tan 60^\circ\approx173,21\ \text{m}

El tercer ángulo es: P=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ

b) La altura de la persona es 1,90\ \text{m} y el ángulo de elevación es 18^\circ.

\tan18^\circ=\frac{1,90}{x} x=\frac{1,90}{\tan18^\circ}\approx5,85\ \text{m}

c) Para el faro, la altura es 70\ \text{m} y el ángulo de elevación desde el barco es 64^\circ.

Distancia desde la base del faro al barco: \tan64^\circ=\frac{70}{x} x=\frac{70}{\tan64^\circ}\approx34,12\ \text{m}

Distancia desde lo alto del faro al barco: \sin64^\circ=\frac{70}{d} d=\frac{70}{\sin64^\circ}\approx77,75\ \text{m}

La distancia horizontal es 5000\ \text{m} y la carretera forma un ángulo de 12^\circ con la horizontal. La carretera es la hipotenusa: \cos12^\circ=\frac{5000}{d} d=\frac{5000}{\cos12^\circ}\approx5111,60\ \text{m}

La vela mide 15\ \text{m} y forma un ángulo de 60^\circ con la horizontal. La diferencia de altura entre la parte superior del mástil y el extremo inferior de la vela es: 15\sin60^\circ\approx12,99\ \text{m}

Como el extremo inferior de la vela está a 2\ \text{m} del suelo: x=2+15\sin60^\circ x\approx2+12,99=14,99\ \text{m}\approx15\ \text{m}

La base mide 14\ \text{m} y la inclinación es de 40^\circ: \cos40^\circ=\frac{14}{L} L=\frac{14}{\cos40^\circ}\approx18,28\ \text{m}

a) La escalera forma un triángulo con catetos de 3\ \text{m} y 5\ \text{m}.

Ángulo con el piso: \tan\alpha=\frac{3}{5} \alpha\approx30,96^\circ

Ángulo con la pared: \beta=90^\circ-30,96^\circ\approx59,04^\circ

La longitud calculada con los catetos es: L=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\approx5,83\ \text{m} que coincide aproximadamente con los 5,8\ \text{m} indicados.

b) El rectángulo tiene lados 12\ \text{cm} y 9\ \text{cm}.

Ángulo de la diagonal con el lado de 12\ \text{cm}: \tan\alpha=\frac{9}{12} \alpha\approx36,87^\circ

El otro ángulo es complementario: \beta=90^\circ-36,87^\circ\approx53,13^\circ

Longitud de la diagonal: d=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}