Resuelve los literales c), d) y e) sobre un acantilado, una cancha rectangular y un edificio.

≈56,31^, _2≈33,69^; d≈26,57 m; h≈125,87 m

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución de problemas con razones trigonométricas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5c) Ángulo de elevación: $56{,}31^\circ$ ; otro ángulo: $33{,}69^\circ$ .

5d) Diagonal: $26{,}57\ \text{m}$ ; ángulos de cada triángulo: $90^\circ$ , $19{,}80^\circ$ y $70{,}20^\circ$ .

5e) Altura: $125{,}87\ \text{m}$ .

Distancia horizontal: $59{,}71\ \text{km}$ .
Distancia a la pared: $0{,}26\ \text{m}$ .

8a) Altura de la torre: $21{,}62\ \text{m}$ .

8b) Largo aproximado: $2{,}61\ \text{m}$ .

9a) Ángulo: $60^\circ$ ; altura: $3{,}46\ \text{m}$ .

9b) Distancia: $5{,}61\ \text{m}$ .

Distancia directa desde el pie de la torre al avión: aproximadamente $6110\ \text{m}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 10 min lectura

Solución — Página 231

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 5

c

Se forma un triángulo rectángulo con cateto horizontal de $200\ \text{m}$ y cateto vertical de $300\ \text{m}$ .

El ángulo de elevación es:

$\tan(\theta)=\frac{300}{200}=1{,}5$

$\theta=\tan^{-1}(1{,}5)\approx 56{,}31^\circ$

El otro ángulo agudo es:

$90^\circ-56{,}31^\circ=33{,}69^\circ$

Ejercicio 5

d

La diagonal divide la cancha en dos triángulos rectángulos congruentes.

$d=\sqrt{25^2+9^2}=\sqrt{706}\approx 26{,}57\ \text{m}$

En cada triángulo, los ángulos son $90^\circ$ , $\tan^{-1}(\frac{9}{25})\approx19{,}80^\circ$ y $70{,}20^\circ$ .

Ejercicio 5

e

La altura del edificio es el cateto opuesto al ángulo de elevación.

$\tan(40^\circ)=\frac{h}{150}$

$h=150\tan(40^\circ)\approx125{,}87\ \text{m}$

Ejercicio 6

La altura de $16\ \text{km}$ es el cateto opuesto y la distancia horizontal $x$ es el cateto adyacente.

$\tan(15^\circ)=\frac{16}{x}$

$x=\frac{16}{\tan(15^\circ)}\approx59{,}71\ \text{km}$

Ejercicio 7

La escalera forma un ángulo de abertura de $20^\circ$ . Por simetría, cada pata forma un ángulo de $10^\circ$ con la vertical. La distancia horizontal desde el extremo superior hasta la pared es:

$d=1{,}5\sin(10^\circ)\approx0{,}26\ \text{m}$

Ejercicio 8

a

En la figura, la base mide $24\ \text{m}$ y el ángulo de elevación es $42^\circ$ .

$\tan(42^\circ)=\frac{h}{24}$

$h=24\tan(42^\circ)\approx21{,}62\ \text{m}$

Ejercicio 8

b

La resbaladera forma un triángulo rectángulo. Tomando la base de $2\ \text{m}$ y el ángulo de la figura, aproximadamente $40^\circ$ :

$\cos(40^\circ)=\frac{2}{L}$

$L=\frac{2}{\cos(40^\circ)}\approx2{,}61\ \text{m}$

Ejercicio 9

a

La distancia del gato a la parte superior de la mesa es la hipotenusa, $4\ \text{m}$ , y la distancia horizontal es $2\ \text{m}$ .

$\cos(\theta)=\frac{2}{4}=0{,}5$

$\theta=60^\circ$

La altura de la mesa es:

$h=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\approx3{,}46\ \text{m}$

Ejercicio 9

b

La distancia del niño al juguete es la hipotenusa.

$\cos(27^\circ)=\frac{5}{d}$

$d=\frac{5}{\cos(27^\circ)}\approx5{,}61\ \text{m}$

Ejercicio 10

El avión está a $5300\ \text{m}$ de altura y la torre mide $35\ \text{m}$ . La diferencia vertical entre la parte superior de la torre y el avión es:

$5300-35=5265\ \text{m}$

La distancia horizontal desde la torre hasta la proyección del avión es:

$x=\frac{5265}{\tan(60^\circ)}\approx3038{,}73\ \text{m}$

La distancia directa desde el pie de la torre hasta el avión es:

$d=\sqrt{3038{,}73^2+5300^2}\approx6109{,}99\ \text{m}$

Contenido de la página

Estrategia general

Representar la situación mediante un triángulo rectángulo.
Identificar el lado conocido y el lado que se desea calcular.
Elegir la razón trigonométrica adecuada:
- $\sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ .
- $\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ .
- $\tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$ .
Despejar la incógnita y aproximar el resultado.

También se utiliza el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

En un triángulo, la suma de los ángulos internos es $180^\circ$ .

Ejemplos resueltos

Una persona observa la parte superior de un objeto a una distancia horizontal conocida y con un ángulo de elevación.

Se usa la tangente porque relaciona la altura con la distancia horizontal: $\tan(\theta)=\frac{h}{d}$ . Por tanto, $h=d\tan(\theta)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$h=d\tan(\theta)$

$d=\frac{h}{\tan(\theta)}$

$c=\frac{a}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=$ $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

$\cos(\theta)=$ $\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\sin(\theta)=$ $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$a^2+b^2=c^2$

Glosario (4)

Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto y lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo.
Ángulo de elevación: Ángulo formado entre la línea horizontal y la línea visual dirigida hacia un objeto situado arriba.
Cateto opuesto: Lado que se encuentra frente al ángulo de referencia.
Cateto adyacente: Cateto que está junto al ángulo de referencia, sin ser la hipotenusa.

Preguntas para practicar

¿Por qué se utiliza la tangente para calcular la altura de una torre?

¿Qué diferencia existe entre la distancia horizontal y la distancia directa?

¿Cómo cambiaría el resultado si aumentara el ángulo de elevación?

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasTeorema de PitágorasÁngulos de elevaciónCálculo de alturas y distanciasSenoCosenoTangenteHipotenusaCateto opuestoCateto adyacenteÁngulo de elevación

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Figuras de la página (4)

Escalera en forma de A apoyada cerca de una pared vertical, con abertura de $20^\circ$. — Figura 2 image

Torre eléctrica representada como un triángulo rectángulo, con base de $24\ \text{m}$ y ángulo de $42^\circ$. — Figura 3 image

Torre de control y avión representados mediante un triángulo de observación con ángulo de $60^\circ$. — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la altura usando la tangente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar la hipotenusa con seno o coseno?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo aplicar el teorema de Pitágoras en problemas reales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar catetos e hipotenusa
• Aplicar seno, coseno y tangente
• Usar el teorema de Pitágoras
• Resolver ecuaciones sencillas
• Manejar la calculadora en grados

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas con ángulos de depresión y aplicaciones de la trigonometría

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2112 caracteres

Una persona se encuentra a 200 m del pie

de un acantilado. Si en lo alto del acantilado : se encuentra un piedra, el acantilado tiene : 300 m de altura. ¿Cuál es el ángulo con el que : la persona observa dicha piedra? ¿Cuánto :

mide el otro ángulo?

Una cancha de fútbol rectangular en una : escuela mide 25 m de largo y 9 m de ancho. : Si para las actividades de educación física se : divide la cancha por su diagonal, ¿cuánto :

mide la diagonal de la cancha? ¿Cuáles son sus ángulos internos?

Desde un punto sobre el suelo, situado a E 150 m de la base de un edificio, el ángulo de ; elevación a la cúspide del mismo es de 40”. :

¿Cuál es la altura del edificio?

Un avión despega del aeropuerto elevándose con un ángulo constante de 15°, hasta alcanzar una altura de 16 km.

El gráfico que describe la trayectoria del avión

es;

16 km

Punto de despegue

Determina cuál es la distancia horizontal que recorre el avión antes de elevarse,

Una escalera en forma de “A” tiene un ángulo de abertura entre sus patas de 20°. Una de sus dos patas de 1,5 m reposa en el suelo, tocando Una pared vertical.

El gráfico que ilustra la situación es:

Determina a qué distancia de la pared se en- cuentra su extremo superior?

i Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan. 8. Resuelvan los siguientes ejercicios.

a) Calcula la altura de la torre.

Shutterstock, 300217025. i pra.

Resuelvan los siguientes problemas.

a) Un gato se encuentra a 2 m de la base de una mesa. Si la distancia del gato a lo alto de la mesa es 4 m. ¿Cuál es el ángulo entre el gato y el suelo? y ¿cuál es la altura de la mesa?

b) Un niño observa un juguete en lo alto de una repisa con un ángulo de 27”, Si la distancia horizontal del niño a la repisa en 5 m, ¿cuál es la distancia del niño al juguete?

E Actividad indagatoria

Indaga cómo resolver la siguiente situación.

Una torre de control de un aeropuerto divisa con un ángulo de 60° un avión. Sabiendo que el avión está a 5 300 m de altura y que la torre mide 35 m, calcula la distancia desde el pie de la torre al avión.

Shutterstock, 735334468.

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