La probabilidad de un suceso A es 1/3, la de B es 4/5 y la de la intersección es 3/7. Calcula: A) P(A B); B) P(A^c); C) P(A^c B^c); D) P(A^c B^c).

A) 74/105; B) 2/3; C) 31/105; D) 4/7

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Operaciones con sucesos y probabilidades

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

b) $P(A\cup B)=\frac{3}{4}=0,75=75\%$ .
cA) $\frac{74}{105}\approx 0,70$ .
cB) $\frac{2}{3}\approx 0,67$ .
cC) $\frac{31}{105}\approx 0,30$ .
cD) $\frac{4}{7}\approx 0,57$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 237

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Ejercicio b

Al lanzar dos dados, el espacio muestral tiene $6\times 6=36$ resultados equiprobables.

Los números primos que pueden aparecer en un dado son $2$ , $3$ y $5$ .

Suceso $A$ : obtener dos números primos. Hay $3\times 3=9$ resultados, por lo que $P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$ .
Suceso $B$ : obtener al menos un número primo. Es más sencillo calcular el complemento: en cada dado hay tres números que no son primos, $1$ , $4$ y $6$ . Entonces, hay $3\times 3=9$ resultados sin ningún número primo y $36-9=27$ resultados con al menos un primo. Por tanto, $P(B)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ .

Como obtener dos números primos implica obtener al menos un número primo, $A\subseteq B$ . Por ello, $A\cup B=B$ y:

$P(A\cup B)=P(B)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}=0,75=75\%$

La respuesta impresa en la página presenta un error: considera $8$ resultados para dos primos y $22$ para al menos un primo, pero los conteos correctos son $9$ y $27$ .

Ejercicio c

Datos: $P(A)=\frac{1}{3}$ , $P(B)=\frac{4}{5}$ y $P(A\cap B)=\frac{3}{7}$ .

Parte 1.a

Probabilidad de que ocurra $A$ o $B$

Se utiliza la fórmula de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{3}{7}=\frac{35+84-45}{105}=\frac{74}{105}\approx 0,70$

Parte 1.b

Probabilidad del contrario de $A$

La probabilidad del complemento se calcula así:

$P(A^c)=1-P(A)$

$P(A^c)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,67$

Parte 1.c

Probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$

Por la ley de De Morgan, $A^c\cap B^c=(A\cup B)^c$ . Entonces:

$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)$

$P(A^c\cap B^c)=1-\frac{74}{105}=\frac{31}{105}\approx 0,30$

Parte 1.d

Probabilidad de que no ocurra $A$ o no ocurra $B$

Por la ley de De Morgan, $A^c\cup B^c=(A\cap B)^c$ . Por tanto:

$P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)$

$P(A^c\cup B^c)=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}\approx 0,57$

Observación: los datos del ejercicio c no son completamente consistentes, porque $P(A\cap B)=\frac{3}{7}$ es mayor que $P(A)=\frac{1}{3}$ . Sin embargo, las operaciones solicitadas se resuelven formalmente con los valores proporcionados.

Contenido de la página

Fórmulas principales

Unión de sucesos: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Complemento: $P(A^c)=1-P(A)$ .
Primera ley de De Morgan: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ .
Segunda ley de De Morgan: $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ .

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro. Son dependientes cuando la ocurrencia de uno modifica la ocurrencia o probabilidad del otro.

Ejemplos resueltos

Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un número primo?

En cada dado hay $3$ resultados no primos: $1$ , $4$ y $6$ . Hay $3\times 3=9$ resultados sin primos, de un total de $36$ . Entonces, los resultados con al menos un primo son $36-9=27$ y la probabilidad es $\frac{27}{36}=\frac{3}{4}=75\%$ .

Fórmulas y ecuaciones

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A^c)=1-P(A)$

$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$

$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

$P(A\cup$ $B)=P(A)+P(B)-P(A\cap$ B)

$P(A^c)=1-P(A)$

$P(A^c\cap$ $B^c)=1-P(A\cup$ B)

$P(A^c\cup$ $B^c)=1-P(A\cap$ B)

Glosario (4)

Unión: Suceso formado por los resultados que pertenecen a $A$, a $B$ o a ambos.
Intersección: Suceso formado por los resultados comunes a $A$ y $B$.
Complemento: Suceso en el que no ocurre el suceso original.
Sucesos independientes: Sucesos cuya ocurrencia no afecta la probabilidad del otro.

Temas y conceptos clave

Unión de sucesosIntersección de sucesosComplemento de un sucesoSucesos independientes y dependientesLeyes de De Morgan$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$P(A^c)=1-P(A)$$P((A\cup B)^c)=P(A^c\cap B^c)$$P((A\cap B)^c)=P(A^c\cup B^c)$

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📌 Antes de leer esto

• Fracciones y operaciones con fracciones
• Espacio muestral y eventos
• Probabilidad de un suceso
• Concepto de complemento

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Probabilidad condicional y sucesos independientes

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b) Para un truco de magia, se lanzan dos dados al mismo tiempo. ¿Cuál es la pro- babilidad de obtener dos números primos o al menos un número primo? Solución

Determinemos el espacio muestral. E = {(1,1); (1, 2); (1, 3); (1,4); (1, 5; (1 ; (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); B, 1); 3, 2), B, 3); B, 4); B, 5), 68,0; (4, 1); 4, 2 3 (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); 6,

(6, 6)) = 36

Definamos el número de elementos de cada suceso:

A: obtener dos numeros primos = 8

B: obtener al menos un número primo = 22

Hallemos la probabilidad de cada suceso:

P(A) - 202 P(B) -2-0, 61

Resolviendo la situación inicial tenemos P(A o B) que es igual a P(A U B). P(AUB) =P(A)+P(B)-P(ANB)

PALI il 3636 36 36

La probabilidad de que salgan dos números primos o al menos un número primo es 22 %.

c) La probabilidad de un suceso A

= us la de B es 2 y de la intersección, LA Calcula: 3 5 7

A) La probabilidad de que ocurra el suceso A o bien ocurra el suceso B. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ANB)

P(AUB)=24 4-3-4 _ 9,70 3 5 7 105

B) La probabilidad del contrario de A sería, entonces:

P(A‘)=1-p(A) P(A’) =1--=*

C) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B. Debemos calcular P(A* N B‘). Utilizando las leyes de De Morgan tenemos:

P(ANB")=p(AUB) =1-P(AUB) PA NB") =1-P(AUB)=1

D) La probabilidad de que no ocurra el suceso A o bien no ocurra el suceso B.

P(A‘ UBS) =P(ANB) = 1-P(ANB)=1-5 == 0,57

Dados.

1D sabías quer

Dos sucesos se dicen independientes si

la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de otro y, por tanto, no afecta su probabilidad.

Dos eventos se dicen dependientes si la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia y probabilidad del otro,

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