Problemas propuestos

Resolución de los problemas

Sea x la cantidad que se resta a cada lado. Los lados resultantes son 18-x, 16-x y 9-x. Como 18-x es el lado mayor, aplicamos el teorema de Pitágoras: (16-x)^2+(9-x)^2=(18-x)^2. Al desarrollar y simplificar: x^2-14x+13=0. Factorizando: (x-1)(x-13)=0, de donde x=1 o x=13. La solución x=13 no es válida porque produciría un lado negativo. Para x=1, los lados son 17, 15 y 8 cm, y 15^2+8^2=17^2. Por tanto, se debe restar 1 cm a cada lado.

Si las soluciones son r_1 y r_2, la ecuación mónica es x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2=0. Como la suma es 5 y el producto es -24, la ecuación es x^2-5x-24=0. Sus soluciones son 8 y -3, pues 8+(-3)=5 y 8(-3)=-24.

El universo es U=\{1,2,3,\ldots,50\}. A contiene los múltiplos de 2, B los múltiplos de 3 y C los múltiplos de 5. Para A\cup B se reúnen los múltiplos de 2 o de 3; para A\cap C se toman los múltiplos comunes de 2 y 5; y A^c contiene los números de U que no son múltiplos de 2.

La moneda tiene dos resultados: cara y sello. El dado tiene seis resultados: 1,2,3,4,5,6. Cada resultado de la moneda se combina con cada resultado del dado, por lo que hay 2\times6=12 resultados posibles.

Sean x y y las longitudes de los lados. Del perímetro se obtiene 2x+2y=140, es decir, x+y=70. Del área, xy=1000. Entonces x y y son las raíces de t^2-70t+1000=0. Factorizando: (t-50)(t-20)=0. Por tanto, los lados miden 50 m y 20 m.

Sean x>y los números. Como su diferencia es 5, x-y=5, de modo que x=y+5. Sustituyendo en la suma de cuadrados: (y+5)^2+y^2=193. Al simplificar: y^2+5y-84=0=(y-7)(y+12). Como los números son positivos, y=7 y x=12. Verificación: 12^2+7^2=144+49=193 y 12-7=5.

Se buscan dos enteros positivos cuyos cuadrados sumen 1301. Probamos cuadrados cercanos: 1301-26^2=1301-676=625=25^2. Por tanto, los números son 26 y 25. Verificación: 26^2+25^2=676+625=1301.

Sea r la edad de Ricardo. Beatriz tiene r+2 años. La ecuación es r^2+(r+2)^2=1154. Simplificando: r^2+2r-575=0. Sus soluciones son r=23 y r=-25; se descarta la solución negativa. Ricardo tiene 23 años y Beatriz tiene 23+2=25 años.