Racionalización de expresiones numéricas y algebraicas

Desequilibrio cognitivo

Para extraer factores de un radical, se separan los factores que forman potencias perfectas:

• \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}.
• \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.
• \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}.

Racionalización

Racionalizar una expresión fraccionaria significa transformar su denominador en un número racional.

Radical de índice 2

1. Para racionalizar \frac{5}{\sqrt{3}}, se multiplica por \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}:

\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.

2. Para racionalizar \frac{7}{3\sqrt{2}}:

\frac{7}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{7\sqrt{2}}{6}.

3. Primero se extraen factores de \sqrt{54}:

\sqrt{54}=\sqrt{3^2\cdot 6}=3\sqrt{6}.

Entonces:

\frac{9}{\sqrt{54}}=\frac{9}{3\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{9\sqrt{6}}{18}=\frac{\sqrt{6}}{2}.

4. Para racionalizar \frac{4x}{\sqrt{5x}}:

\frac{4x}{\sqrt{5x}}\cdot\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}}=\frac{4x\sqrt{5x}}{5x}=\frac{4\sqrt{5x}}{5}.

Radicales cuyo índice no es 2

1. Para \sqrt[7]{\frac{1}{5^3}} se multiplica por \frac{\sqrt[7]{5^4}}{\sqrt[7]{5^4}}, porque 3+4=7:

\sqrt[7]{\frac{1}{5^3}}=\frac{\sqrt[7]{5^4}}{\sqrt[7]{5^7}}=\frac{\sqrt[7]{5^4}}{5}.

2. Para \frac{3}{4\sqrt[5]{2^3}} se completa la quinta potencia con \sqrt[5]{2^2}:

\frac{3}{4\sqrt[5]{2^3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{3\sqrt[5]{2^2}}{4\sqrt[5]{2^5}}=\frac{3\sqrt[5]{2^2}}{8}.

3. Para \frac{2x\sqrt[3]{xy}}{7\sqrt[3]{y^2}} se multiplica por \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{y}}:

\frac{2x\sqrt[3]{xy}}{7\sqrt[3]{y^2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{y}}=\frac{2x\sqrt[3]{xy^2}}{7\sqrt[3]{y^3}}=\frac{2x\sqrt[3]{xy^2}}{7y}.

4. Para \frac{2a^2-2b^2}{\sqrt[3]{a+b}}, se multiplica por \frac{\sqrt[3]{(a+b)^2}}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}:

\frac{2a^2-2b^2}{\sqrt[3]{a+b}}=\frac{2(a^2-b^2)\sqrt[3]{(a+b)^2}}{a+b}.

Como a^2-b^2=(a-b)(a+b), resulta:

2(a-b)\sqrt[3]{(a+b)^2}.