Operaciones con radicales y potencias

Resolución

a) \sqrt[4]{5^6}=\sqrt[4]{5^4\cdot5^2}=5\sqrt[4]{5^2} La igualdad es verdadera.

b) \sqrt{7}\sqrt[3]{3}=7^{\frac12}3^{\frac13}=7^{\frac36}3^{\frac26}=\sqrt[6]{7^3}\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{7^3}\sqrt[6]{9} La igualdad es verdadera.

c) \sqrt[8]{2^2}=2^{\frac{2}{8}}=2^{\frac14} Mientras que \sqrt[6]{2^3}=2^{\frac{3}{6}}=2^{\frac12} Como 2^{\frac14}\ne2^{\frac12}, la igualdad es falsa.

• a) \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x-y → ii.
• b) \left(\sqrt{x}+1\right)^2-2\sqrt{x}=x+1 → i.
• c) \left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)=x-3, por lo que corresponde a la expresión factorizada indicada como iv si el primer término es x^2-3 en el texto.
• d) \left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=x-9 → iii.
• e) \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-2\sqrt{xy}=x+y → v.

La correspondencia esperada es: a-ii, b-i, c-iv, d-iii, e-v.

a) \left(\frac37+\frac65+\frac45\right)\sqrt{txr}=\left(\frac37+2\right)\sqrt{txr}=\frac{17}{7}\sqrt{txr}

b) 5\sqrt{12}+3\sqrt{75}-2\sqrt{1029} =5(2\sqrt3)+3(5\sqrt3)-2(7\sqrt{21}) =25\sqrt3-14\sqrt{21}

c) \sqrt{20}-7\sqrt{50}+4\sqrt{32}-6 =2\sqrt5-35\sqrt2+16\sqrt2-6 =2\sqrt5-19\sqrt2-6

d) (2\sqrt3+\sqrt5-5\sqrt2)(4\sqrt2) =8\sqrt6+4\sqrt{10}-40

a) 5^{\frac14}\cdot3^{\frac14}=(5\cdot3)^{\frac14}=\sqrt[4]{15}

b) \frac13x^{\frac23}y^{\frac23}=\frac13\left(xy\right)^{\frac23}=\frac13\sqrt[3]{x^2y^2}

c) \left(\frac{x^{-\frac15}y^{\frac13}}{x^{\frac45}y^{-\frac23}}\right)^{\frac12}=\left(x^{-1}y\right)^{\frac12}=\sqrt{\frac{y}{x}}

d) \frac{5^{\frac12}\cdot3^{\frac23}\cdot5^{-\frac32}}{3^{\frac13}}=5^{-1}3^{\frac13}=\frac{\sqrt[3]{3}}5

El diámetro es d=\sqrt{600}, por lo tanto el radio es: r=\frac{\sqrt{600}}2=\sqrt{150} El área es: A=\pi r^2=\pi(\sqrt{150})^2=150\pi\text{ cm}^2

a) \sqrt[3]{9} No tiene factores cúbicos perfectos que extraer.

b) \sqrt[8]{3^{10}}=\sqrt[8]{3^8\cdot3^2}=3\sqrt[8]{3^2}=3\sqrt[4]{3}

c) \sqrt[3]{x^2+2x+1}=\sqrt[3]{(x+1)^2}

d) \left(\sqrt[5]{x^2+y^3}\right)^2=\sqrt[5]{(x^2+y^3)^2}

a) 8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4

b) 127^{-\frac45}=\frac1{127^{\frac45}}=\frac1{\sqrt[5]{127^4}}

c) (1+n)^{\frac1n}=\sqrt[n]{1+n}

d) (x^3+y^3)^{\frac23}=\sqrt[3]{(x^3+y^3)^2}

Se suman los seis lados: P=8\sqrt7+\sqrt7+2\sqrt7+\sqrt{50}+\sqrt{72}+\sqrt{32} P=11\sqrt7+5\sqrt2+6\sqrt2+4\sqrt2 P=11\sqrt7+15\sqrt2\text{ m}

Lado: l=\sqrt{20}. P=4l=4\sqrt{20}=8\sqrt5 A=l^2=(\sqrt{20})^2=20

V=l^3=\left(\sqrt[4]{30}\right)^3=\sqrt[4]{30^3}\text{ m}^3

La arista es la raíz cúbica del volumen: l=\sqrt[3]{\sqrt[3]{345123x^6y^9}}=\sqrt[9]{345123x^6y^9} También puede escribirse como: l=y\sqrt[9]{345123x^6}

El diámetro mide: d=\sqrt{1876}=\sqrt{4\cdot469}=2\sqrt{469}\approx43,31\text{ cm} Como 43,31<70, la mesa sí cabe en el espacio disponible.