En la ecuación de la velocidad del sonido en los gases, v= RT/M, ¿qué propiedad de los radicales se puede aplicar?

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Definición de exponentes racionales y operaciones con radicales

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Respuesta rápida

La propiedad aplicable es la del cociente de radicales: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ . También puede expresarse la raíz cuadrada como un exponente racional de $\frac{1}{2}$ .

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Solución — Página 25

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Ejercicio 1

Contenido y resolución

Ejercicio 1

Exponentes racionales

Si $\frac{m}{n}$ es un exponente racional simplificado, con $m\in\mathbb{Z}$ y $n>0$ , entonces:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Por ejemplo, un exponente con denominador $3$ se interpreta como una raíz cúbica.

Ejercicio 2

Introducción de factores en un radical

Para introducir un factor dentro de un radical, se eleva dicho factor al índice de la raíz.

$x\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^4\cdot x}=\sqrt[4]{x^5}$ .
$2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3}=\sqrt[3]{24}$ .

Ejercicio 3

Extracción de factores

Se descompone el radicando en factores que tengan potencias iguales o mayores que el índice. Después se extraen las potencias cuya raíz es exacta:

$\sqrt[5]{a^{14}}=\sqrt[5]{a^5\cdot a^5\cdot a^4}=a^2\sqrt[5]{a^4}$

Ejercicio 4

Adición de radicales

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes, es decir, radicales con el mismo índice y la misma cantidad subradical.

Ejemplo a:

$5\sqrt[3]{4}-7\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{4}+8\sqrt[3]{4}$

Se agrupan los coeficientes:

$\sqrt[3]{4}(5-7-1+8)=5\sqrt[3]{4}$

Ejemplo b:

$7\sqrt{2}-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}+5\sqrt{3}$

Se agrupan los radicales semejantes:

$\sqrt{2}(7-6)-\sqrt{3}(4-5)=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Ejemplo c:

$a\sqrt{x-a}-\sqrt{9a^2(x-a)}+\sqrt{49a^2(x-a)}$

Se extraen los factores de los radicales:

$a\sqrt{x-a}-3a\sqrt{x-a}+7a\sqrt{x-a}$

Finalmente:

$a\sqrt{x-a}-3a\sqrt{x-a}+7a\sqrt{x-a}=5a\sqrt{x-a}$

Ejercicio 5

Multiplicación de radicales

Para multiplicar radicales con índices diferentes, se transforman a un índice común. En el ejemplo, el mínimo común múltiplo de $3$ , $4$ y $6$ es $12$ :

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[12]{2^4\cdot 2^3\cdot a^2}=\sqrt[12]{2^7a^2}$

Ejercicio 6

Aplicación en Química

La velocidad del sonido en los gases se expresa como:

$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

En esta ecuación se aplica la propiedad del cociente de radicales:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

También puede reconocerse la expresión como una potencia racional:

$v=\left(\frac{\gamma RT}{M}\right)^{\frac{1}{2}}$

Contenido de la página

Definición de exponentes racionales

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Introducción de factores

Un factor externo se introduce en el radical elevándolo al índice de la raíz.

Extracción de factores

Se descompone el radicando y se extraen las potencias que tienen raíz exacta.

Adición de radicales

Para sumar o restar, los radicales deben ser semejantes: tener el mismo índice y la misma cantidad subradical.

Multiplicación de radicales

Si los índices son diferentes, se reducen a un índice común mediante el mínimo común múltiplo.

Aplicación

En $v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ se puede aplicar la propiedad del cociente de radicales.

Ejemplos resueltos

Introducir $x$ en $x\sqrt[4]{x}$ .

Como el índice es $4$ , se eleva $x$ a la cuarta potencia dentro del radical: $x\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^4\cdot x}=\sqrt[4]{x^5}$

Extraer factores de $\sqrt[5]{a^{14}}$ .

$\sqrt[5]{a^{14}}=\sqrt[5]{a^5\cdot a^5\cdot a^4}=a^2\sqrt[5]{a^4}$

Multiplicar $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[6]{a}$ .

El m.c.m. de los índices $3$ , $4$ y $6$ es $12$ . Por tanto: $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[12]{2^4\cdot2^3\cdot a^2}=\sqrt[12]{2^7a^2}$

Fórmulas y ecuaciones

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

$\sqrt[n]{A}\cdot\sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{AB}$

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$x\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^5}$

$2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{24}$

$\sqrt[5]{a^{14}}=a^2\sqrt[5]{a^4}$

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[12]{2^7a^2}$

$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

Glosario (5)

Exponente racional: Exponente que puede expresarse como el cociente de dos números enteros.
Radicando: Cantidad que se encuentra dentro del signo radical.
Índice: Número que indica la raíz que se debe extraer.
Radicales semejantes: Radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.
Índice común: Índice igual para varios radicales, generalmente obtenido mediante el mínimo común múltiplo.

Preguntas para practicar

¿Por qué los radicales con diferente índice deben transformarse a un índice común para multiplicarse?

¿Qué condiciones deben cumplir dos radicales para poder sumarse?

¿Cómo se relaciona una raíz cuadrada con un exponente racional?

Temas y conceptos clave

Definición de exponentes racionalesIntroducción y extracción de factores de un radicalAdición de radicalesMultiplicación de radicalesAplicación de los radicales en QuímicaExponente racionalÍndice de la raízRadicales semejantesIntroducción de factoresExtracción de factoresÍndice comúnPropiedad del cociente de radicales

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se transforma un exponente racional en un radical?

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¿Cuándo se pueden sumar o restar radicales?

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¿Cómo se multiplican radicales con diferente índice?

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📌 Antes de leer esto

• Conocer la radicación y sus elementos
• Aplicar leyes de los exponentes enteros
• Descomponer cantidades en factores
• Reconocer términos semejantes

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División y racionalización de radicales

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Definición de exponentes racionales

‘ ‘ m

Para cualquier exponente racional e Q, n#0 expresado en su forma más n

simplificada, donde m y n son números enteros y n > 0, se define a”” =a”

Las leyes con exponentes enteros también se cumplen para los exponentes

racionales,

Introducción y extracción de factores de un radical

Introducción

Para introducir factores en un radical, se elevan los factores al índice de la raíz.

Ejemplos

a) A af? b) 2B=32-3=324.

Operaciones con radicales Adición de radicales

Ejemplos

Extracción

Para extraer factores de un radical, se descompone el radicando en factores, Luego, se extraen aquellos factores que tienen raíz exacta. Ejemplo Wa" =a’ xa? xa!

=Va xxla x Vat =a’ a?

a) Sumar:

54 73 /4 -14 +83/4

Como son radicales semejantes, aplicamos la propiedad distributiva:

Y4(5-7-1+8) =53/4

b) Sumar:

7/2 - 43 -6V2 + 543

Agrupamos los términos de acuerdo con los radicales semejantes y sumamos:

V2(7 -6)-V3(4-5)=V2 + 4/3

c) Sumar:

adx=a -«[9a (xa) + [490 (x-a)

Por extracción de factores, transformamos a radicales semejantes: