Expresa cada potencia o raíz en la forma indicada.

b^2; 2-x; [5]≤ft(-34)^3; (a^2-b^2)^32

Suma y reduce los radicales semejantes.

1617; 35-2; 0; -255; 452-27; -9[3]3

Extrae todos los factores posibles de cada radical.

52; 123; 2[3]2; 2[5]21; 5[3]7; 70; 22; 23; 63; 275; 103; 7[3]2; 13; 14[3]3

Simplifica las expresiones aplicando las propiedades de las raíces.

42; 53; 83; 5x; xx; 3x^22; 9x[3]x; 20; 2; x+5x; 4; x; 2[3]x; [5]x-1; [6]x; (2x+1)^2; 4x^2; 2x; 3x^2y[3]y^2; [6]x-1x+1; 1-x; 18x

Convierte los radicales a un índice común.

[6]4^9; [6]6^2; 34[3]5; [3]5; -4[3]5; [6]5^3; [6]7^2

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Potencias de exponente fraccionario y radicales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $b^2$ ; b) $\sqrt{2-x}$ ; c) $\sqrt[5]{\left(-\frac34\right)^3}$ ; d) $(a^2-b^2)^{\frac32}$ .
a) F, $\sqrt[24]{3}$ ; b) V; c) F, $1$ ; d) F, $\left(\frac12\right)^{\frac14}$ ; e) V; f) F, $\frac32$ .
a) $\frac12$ ; b) $10^{\frac{99}{100}}$ ; c) $ab^{\frac53}c^{\frac1{30}}d^{-\frac12}$ .
a) $16\sqrt{17}$ ; b) $3\sqrt5-2$ ; c) $0$ ; d) $-25\sqrt5$ ; e) $45\sqrt2-2\sqrt7$ ; f) $-9\sqrt[3]{3}$ .
$5\sqrt2$ , $12\sqrt3$ , $2\sqrt[3]{2}$ , $2\sqrt[5]{21}$ , $5\sqrt[3]{7}$ , $70$ , $2\sqrt2$ , $2\sqrt3$ , $6\sqrt3$ , $27\sqrt5$ , $10\sqrt3$ , $7\sqrt[3]{2}$ , $\frac13$ , $\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}$ .
$4\sqrt2$ , $5\sqrt3$ , $8\sqrt3$ , $5\sqrt{x}$ , $x\sqrt{x}$ , $3x^2\sqrt2$ , $9x\sqrt[3]{x}$ , $20$ , $\sqrt2$ , $x+5\sqrt{x}$ , $4$ , $x$ , $2\sqrt[3]{x}$ , $\sqrt[5]{x-1}$ , $\sqrt[6]{x}$ , $(2x+1)^2$ , $4x^2$ , $2x$ , $3x^2y\sqrt[3]{y^2}$ , $\frac{\sqrt[6]{x-1}}{x+1}$ , $1-x$ , $18x$ .
a) $\sqrt[6]{4^9};\sqrt[6]{6^2}$ ; b) se conservan los radicales cúbicos; c) $\sqrt[6]{5^3};\sqrt[6]{7^2}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 25 min lectura

Solución — Página 26

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Expresión como potencia o como raíz

Aplicamos $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ .

a) $\sqrt{b^4}=b^{\frac{4}{2}}=b^2$ .
b) $(2-x)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2-x}$ .
c) $\left(-\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{\left(-\frac{3}{4}\right)^3}$ .
d) $\sqrt{(a^2-b^2)^3}=(a^2-b^2)^{\frac{3}{2}}$ .

Ejercicio 2

Verdadero o falso

a) $\sqrt{\sqrt[4]{\sqrt[3]{3}}}=3^{\frac{1}{2\cdot4\cdot3}}=\sqrt[24]{3}$ . Por tanto, la proposición es F. La corrección es $\sqrt[24]{3}$ .
b) $\frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=1$ . Es V.
c) $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}=\sqrt{1}=1\ne\sqrt{3}$ . Es F.
d) $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}\ne\sqrt{2}$ . Es F.
e) $5^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{5^2}$ . Es V.
f) $\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3}{2}\ne\frac{9}{4}$ . Es F.

Ejercicio 3

Simplificación

a) Al transformar los radicales en potencias, el exponente total es $\frac{48}{2\cdot4\cdot4\cdot3}=\frac{1}{2}$ . Por tanto, $\left(\frac14\right)^{\frac12}=\frac12$ .
b) $\left[\sqrt[99]{\sqrt[10]{\frac{10^{10}}{\sqrt[10]{10}}}}\right]^{99}=\sqrt[10]{\frac{10^{10}}{\sqrt[10]{10}}}=10^{\frac{99}{100}}$ .
c) $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{a^{30}b^{50}cd^{-15}}}}=a b^{\frac53}c^{\frac1{30}}d^{-\frac12}=\frac{ab\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt{d}\sqrt[30]{c^{-1}}}$ , considerando las variables positivas. En forma de potencias, la respuesta más directa es $ab^{\frac53}c^{\frac1{30}}d^{-\frac12}$ .

Ejercicio 4

Suma de expresiones radicales

a) $(1+4-1+12)\sqrt{17}=16\sqrt{17}$ .
b) $(1+2)\sqrt5+(-5-3+6)=3\sqrt5-2$ .
c) $2\sqrt{27}-3\sqrt3+\sqrt{12}-\sqrt{75}=6\sqrt3-3\sqrt3+2\sqrt3-5\sqrt3=0$ .
d) $2\sqrt{45}+2\sqrt{20}-7\sqrt{125}=6\sqrt5+4\sqrt5-35\sqrt5=-25\sqrt5$ .
e) $\sqrt8-5\sqrt2+6\sqrt{128}-\sqrt{28}=2\sqrt2-5\sqrt2+48\sqrt2-2\sqrt7=45\sqrt2-2\sqrt7$ .
f) $2\sqrt[3]{24}-3\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{192}=4\sqrt[3]{3}-9\sqrt[3]{3}-4\sqrt[3]{3}=-9\sqrt[3]{3}$ .

Ejercicio 5

Extracción de factores

a) $\sqrt{50}=5\sqrt2$ .
b) $2\sqrt{108}=12\sqrt3$ .
c) $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$ .
d) $\sqrt[5]{672}=2\sqrt[5]{21}$ .
e) $\sqrt[3]{875}=5\sqrt[3]{7}$ .
f) $\sqrt{4900}=70$ .
g) $\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$ .
h) $\sqrt{12}=2\sqrt3$ .
i) $\sqrt{108}=6\sqrt3$ .
j) $3\sqrt{405}=27\sqrt5$ .
k) $2\sqrt{75}=10\sqrt3$ .
l) $\sqrt[3]{686}=7\sqrt[3]{2}$ .
m) $\frac{3}{\sqrt[3]{729}}=\frac{3}{9}=\frac13$ .
n) $\frac{2}{\sqrt[3]{1536}}=\frac{2}{8\sqrt[3]{3}}=\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}$ .

Ejercicio 6

Simplificación usando propiedades de las raíces

a) $\sqrt{32}=4\sqrt2$ .
b) $\sqrt{75}=5\sqrt3$ .
c) $4\sqrt{12}=8\sqrt3$ .
d) $\sqrt{25x}=5\sqrt{x}$ .
e) $\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$ .
f) $\sqrt{18x^4}=3x^2\sqrt2$ .
g) $\sqrt[3]{729x^4}=9x\sqrt[3]{x}$ .
h) $(2\sqrt5)^2=20$ .
i) $(\sqrt{x+\sqrt2})^2-x=\sqrt2$ .
j) $\sqrt{x}(\sqrt{x}+5)=x+5\sqrt{x}$ .
k) $\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4$ .
l) $\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{x^3}=x$ .
m) $\frac{\sqrt[3]{16x^2}}{\sqrt[3]{2x}}=\sqrt[3]{8x}=2\sqrt[3]{x}$ .
n) $\frac{\sqrt[5]{x^2-1}}{\sqrt[5]{x+1}}=\sqrt[5]{\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}}=\sqrt[5]{x-1}$ .
o) $\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[6]{x}$ .
p) $\sqrt[3]{\sqrt{(2x+1)^{12}}}=(2x+1)^2$ .
q) $\sqrt{\sqrt{256x^8}}=4x^2$ .
r) $\sqrt[8]{2^4x^6(4x)^2}=\sqrt[8]{2^8x^8}=2x$ .
s) $\sqrt[3]{27x^6y^5}=3x^2y\sqrt[3]{y^2}$ .
t) $\frac{\sqrt{\sqrt[3]{x-1}}}{x+1}=\frac{\sqrt[6]{x-1}}{x+1}$ .
u) $\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3\cdot\frac{1-x}{\sqrt[3]{(x+1)^3}}=(x+1)\cdot\frac{1-x}{x+1}=1-x$ .
v) $\frac{\left(\sqrt[3]{216x}\right)^2}{\sqrt[3]{\frac8x}}=\frac{36\sqrt[3]{x^2}}{\frac2{\sqrt[3]{x}}}=18x$ .

Ejercicio 7

Conversión a radicales de índice común

a) El mínimo común múltiplo de $2$ y $3$ es $6$ : $\sqrt{4^3}=\sqrt[6]{4^9}$ y $\sqrt[3]{6}=\sqrt[6]{6^2}$ .
b) Todos los radicales ya tienen índice $3$ : $\frac34\sqrt[3]{5};\sqrt[3]{5};-4\sqrt[3]{5}$ .
c) El índice común de $2$ y $3$ es $6$ : $\sqrt5=\sqrt[6]{5^3}$ y $\sqrt[3]{7}=\sqrt[6]{7^2}$ .

Contenido de la página

Taller

La página propone ejercicios para transformar potencias en raíces y raíces en potencias, verificar propiedades de los radicales, simplificar expresiones y sumar radicales semejantes.

Evaluación formativa

Se practican la extracción de factores de los radicales, la simplificación mediante propiedades de las raíces y la conversión de radicales a un índice común.

Ejemplos resueltos

Simplificar $\sqrt{50}$ .

$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$ .

Sumar $2\sqrt{27}-3\sqrt3+\sqrt{12}-\sqrt{75}$ .

$2\sqrt{27}-3\sqrt3+\sqrt{12}-\sqrt{75}=6\sqrt3-3\sqrt3+2\sqrt3-5\sqrt3=0$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

$\sqrt[n]{a^n}=a$ para valores positivos de $a$

Para convertir radicales a índice común se usa el mínimo común múltiplo de sus índices.

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Glosario (5)

Radical: Expresión que contiene una raíz, como $\sqrt[n]{a}$.
Índice: Número que indica el tipo de raíz; en $\sqrt[n]{a}$ es $n$.
Radicando: Cantidad ubicada dentro del símbolo radical.
Radicales semejantes: Radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Exponente fraccionario: Exponente de la forma $\frac{m}{n}$, equivalente a la raíz $\sqrt[n]{a^m}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué al convertir una raíz en potencia el índice pasa a ser el denominador del exponente?

¿Qué condiciones deben cumplir dos radicales para poder sumarse directamente?

¿Cómo se obtiene el índice común de varios radicales?

Temas y conceptos clave

Potencias de exponente fraccionarioVerdadero y falso con radicalesSimplificación de expresiones radicalesSuma de radicalesExtracción de factoresRadicales de índice comúnConversión entre raíces y potenciasÍndice de un radicalRadicales semejantesExtracción de factores perfectosMínimo común múltiplo de índices

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