Racionalización de binomios

Para racionalizar un binomio con radicales en el denominador, se multiplica el numerador y el denominador por la conjugada del denominador. Así, el denominador se transforma en un número racional o en una expresión sin radicales.

La identidad principal utilizada es:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

La conjugada de \sqrt{b}+\sqrt{c} es \sqrt{b}-\sqrt{c}, y la conjugada de \sqrt{b}-\sqrt{c} es \sqrt{b}+\sqrt{c}.

Ejemplo a

\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} =\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}

=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} =\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}

Ejemplo b

La conjugada de \sqrt{x}+\sqrt{y} es \sqrt{x}-\sqrt{y}:

\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}

Ejemplo c

La conjugada de 2+\sqrt{7} es 2-\sqrt{7}:

\frac{10}{2+\sqrt{7}}\cdot\frac{2-\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} =\frac{10(2-\sqrt{7})}{2^2-(\sqrt{7})^2}

=\frac{10(2-\sqrt{7})}{4-7} =-\frac{10(2-\sqrt{7})}{3}

Ejemplo d

Para eliminar la raíz cúbica del denominador, se multiplica por \sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}:

\frac{6}{\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}} \cdot\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}}{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}} =\frac{6\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}}{\sqrt{2}+1}

Ahora se racionaliza \sqrt{2}+1 mediante su conjugada \sqrt{2}-1:

\frac{6\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}}{\sqrt{2}+1} \cdot\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =6(\sqrt{2}-1)\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^2}

Ejemplo e

La conjugada de \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} es \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}:

\frac{3}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \cdot\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}

=\frac{3(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{(1+x)-(1-x)} =\frac{3(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2x}