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Medidas de dispersión para datos agrupados

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Saberes previos: $m=7$ . En el ejemplo, la media es aproximadamente $\$ 56,14 $, el rango es$ $50$ y la desviación media es aproximadamente $\$ 10,99$.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 32

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

Para que la media de los datos $4, 5, 6, 8, m$ sea $6$ :

$\frac{4+5+6+8+m}{5}=6$

$\frac{23+m}{5}=6 \quad\Rightarrow\quad 23+m=30$

Por tanto:

$m=7$

Ejemplo: costo del consumo de agua potable

Las marcas de clase de los intervalos son $35$ , $45$ , $55$ , $65$ y $75$ . Multiplicando cada marca de clase por su frecuencia se obtiene:

$10(35)=350,\quad 14(45)=630,\quad 15(55)=825$

$20(65)=1300,\quad 11(75)=825$

La cantidad total de datos es:

$n=10+14+15+20+11=70$

La suma de los productos es:

$\sum x_i f_i=350+630+825+1300+825=3930$

Media aritmética

$\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n}=\frac{3930}{70}\approx 56,14$

El promedio del pago es aproximadamente $\$ 56,14$.

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el límite superior del intervalo mayor y el límite inferior del intervalo menor:

$R=80-30=50$

Por tanto, el rango es $\$ 50$.

Desviación absoluta y desviación media

Se calculan las diferencias absolutas entre cada marca de clase y la media:

$|35-56,14|=21,14$

$|45-56,14|=11,14,\quad |55-56,14|=1,14$

$|65-56,14|=8,86,\quad |75-56,14|=18,86$

Al multiplicarlas por sus respectivas frecuencias se obtiene:

$211,4+155,96+17,1+177,2+207,46=769,12$

La desviación media, aunque su cálculo completo continúa en la siguiente parte del tema, se obtiene mediante:

$DM=\frac{\sum |x_i-\overline{x}|f_i}{n}=\frac{769,12}{70}\approx 10,99$

En promedio, las marcas de clase se alejan aproximadamente $\$ 10,99$ de la media.

Contenido de la página

Medidas de dispersión

Son valores que indican el grado de separación de los datos respecto de una medida de tendencia central. Las principales son el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

Fórmula de la media para datos agrupados

$\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n}$

Donde $x_i$ es la marca de clase, $f_i$ es la frecuencia absoluta y $n$ es el número total de datos.

Rango o recorrido

Es la diferencia entre el límite superior del intervalo mayor y el límite inferior del intervalo menor:

$R=\text{límite superior}-\text{límite inferior}$

Ejemplo presentado

Para los costos de agua potable agrupados en los intervalos $[30,40)$ , $[40,50)$ , $[50,60)$ , $[60,70)$ y $[70,80)$ , las frecuencias son $10$ , $14$ , $15$ , $20$ y $11$ . La media es $56,14$ y el rango es $50$ .

La suma de las desviaciones absolutas ponderadas es $769,12$ .

Ejemplos resueltos

En una distribución de datos no agrupados $4, 5, 6, 8, m$ , determina $m$ para que la media aritmética sea $6$ .

$\frac{4+5+6+8+m}{5}=6$ ; entonces $23+m=30$ y $m=7$ .

Una encuesta registra los costos de consumo de agua potable en cinco intervalos, con frecuencias $10$ , $14$ , $15$ , $20$ y $11$ . Calcula la media y el rango.

Con las marcas de clase $35$ , $45$ , $55$ , $65$ y $75$ , se obtiene $\sum x_i f_i=3930$ y $n=70$ . Por ello, $\overline{x}=\frac{3930}{70}\approx56,14$ . El rango es $R=80-30=50$ .

Tabla

Intervalo	Frecuencia $f_i$	Marca de clase $x_i$	Producto $x_i f_i$
$[30,40)$	10	35	350
$[40,50)$	14	45	630
$[50,60)$	15	55	825
$[60,70)$	20	65	1300
$[70,80)$	11	75	825
Total	70		3930

Fórmulas y ecuaciones

$\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n}$

$R=\text{límite superior}-\text{límite inferior}$

$DM=\frac{\sum |x_i-\overline{x}|f_i}{n}$

$\overline{x}$ = $\frac{\sum x_i f_i}{n}$

R= $\text{límite superior}$ - $\text{límite inferior}$

DM= $\frac{\sum |x_i-\overline{x}|f_i}{n}$

Glosario (5)

Dispersión: Grado en que los datos se separan o se alejan de una medida central, como la media.
Marca de clase: Punto medio de un intervalo de datos agrupados.
Rango: Diferencia entre el valor límite superior y el valor límite inferior considerados.
Frecuencia absoluta: Cantidad de datos que pertenecen a una categoría o intervalo.
Desviación media: Promedio de las distancias absolutas de los datos respecto de la media.

Temas y conceptos clave

Medidas de dispersiónMedia aritmética de datos agrupadosRango o recorridoDesviación mediaMedidas de dispersiónFrecuencia absolutaMarca de claseMedia aritméticaRangoDesviación absolutaDesviación media

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la media aritmética para datos agrupados?

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¿Qué diferencia existe entre rango y desviación media?

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¿Cómo se obtiene la marca de clase de un intervalo?

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📌 Antes de leer esto

• Suma y división de números decimales
• Lectura de tablas de frecuencias
• Cálculo de la marca de clase
• Uso del valor absoluto

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Cálculo de la varianza y la desviación estándar para datos agrupados

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La media aritmética para datos agrupados se calcula así:

| n

| yi spell

X= n

El rango o recorrido es la diferencia entre el límite superior del intervalo mayor y

el límite inferior del

| intervalo menor.

| Simbología matemática

X: media aritmética

: sumatoria X,: marca de clase

f, : frecuencia absoluta

n: número de datos

Medidas de dispersión para datos agrupados

(E) Saberes previos

Responde. En la distribución de datos no agrupados 4, 5, 6, 8, m, ¿qué valor debe tener m para que la media aritmética sea 6?

Las medidas de dispersión son números que indican el grado de separación de los valores de una seríe estadística con respecto a las medidas de tendencia central.

Las medidas de dispersión más conocidas son: el rango, la varianza, la desvia- ción típica y el coeficiente de variación . )

Se encuestó a un grupo de familias sobre el valor que pagan por el consumo de agua potable y los resultados fueron los siguientes: 10 personas pagan entre $ 30 y $40; 14 personas pagan entre$ 40 y $50; 15 personas pagan entre$ 50 y $ 60; 20 personas pagan entre $60 y$ 70; y 11 personas pagan entre $70 y$ 80. ¿Qué tan dispersos están los valores con respecto al promedio de pago de consumo de agua?

Organizamos la información en una tabla de frecuencias de datos agrupados y calculamos la media aritmética.

‘ Costo de consumo de agua potable : Ñ ;

intervalo Fi x, xf [30 - 40) 10 35 350 [40 - 50) 14 45 630 [50 - 60) 15 55 825 [60 - 70) 20 65 1300 [70 - 80) 11 75 825 Total 70 3930 Media aritmética E

Xf La media aritmética es: x==l—= = = 56,14.

n Vamos a determinar las medidas de dispersión, rango, desviación media, varianza y desviación típica o estándar.

Rango o recorrido R= Límite superior — limite inferior; R = 80 - 30 = 50.

Para determinar la desviación media, la varianza y la desviación típica o estándar, completamos la información de la tabla de esta forma:

..Goata Us CODI AQ ABBR

intervalo fi x, | Nie x |x, - Xf

[30 - 40) 10 35 [35 - 56,14|= 21,14 211,4

[40 - 50) 14 45 |45 - 56,14|= 11,14 155,96

[50 - 60) 15 55 55 - 56,14/=1,14 17,1 (60-70) 20 65 [65 - 56,14|= 8,86 1772

[70 - 80) 11 75 [75 - 56,14|= 18,86 207,46 Total 70 769,12

Archivo Editorial

paz M.4,3.7. Calcular e interpretar las medidas de dispersión, rango, varianza y desviación estándar de un conjunto de datos en la solución de problemas.

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