Desviación media, varianza y desviación típica
Respuesta rápida
Desviación media: 10,99. Varianza: 167,3. Desviación típica: 12,93. Ejemplo: comparar la dispersión de los ingresos de dos grupos de familias.
Solución — Página 33
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Desarrollo del ejemplo
La tabla presenta el costo de consumo de agua potable agrupado en intervalos. La frecuencia total es n=70.
Desviación media
Se utiliza la fórmula:
Dm=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|f_i}{n}
Con los datos de la tabla:
Dm=\frac{769,12}{70}=10,99
Esto significa que, en promedio, cada valor se encuentra a 10,99 unidades de la media aritmética.
Varianza
La fórmula es:
\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}
Reemplazando los valores:
\sigma^2=\frac{11\,708,6}{70}=167,3
Por tanto, la varianza es 167,3 unidades cuadradas.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:
\sigma=\sqrt{167,30}=12,93
La desviación típica indica que los datos se separan de la media aproximadamente 12,93 unidades.
Propiedades
- La varianza y la desviación típica son positivas o iguales a cero.
- Si se suma el mismo número a todos los datos, la varianza y la desviación típica no cambian.
- Si todos los datos se multiplican por un número, la varianza se multiplica por el cuadrado de ese número y la desviación típica por el valor absoluto de dicho número.
- Una desviación típica menor indica una mayor concentración de datos alrededor de la media.
Actividad interdisciplinaria
Un ejemplo en ciencias sociales es comparar la dispersión de los ingresos mensuales de dos grupos de familias. La media muestra el ingreso promedio, mientras que la desviación típica permite saber en cuál grupo los ingresos son más parecidos entre sí.
Contenido de la página
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión permiten determinar qué tan separados o concentrados están los datos respecto de la media aritmética.
Fórmulas
- Desviación media: Dm=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|f_i}{n}
- Varianza: \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}
- Desviación típica: \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}}
En el ejemplo del costo de consumo de agua potable, se obtiene Dm=10,99, \sigma^2=167,3 y \sigma=12,93.
Una desviación típica pequeña indica que los datos están más concentrados alrededor de la media.
Ejemplos resueltos
Determinar la desviación media, la varianza y la desviación típica del costo de consumo de agua potable mostrado en la tabla.
Dm=\frac{769,12}{70}=10,99; \sigma^2=\frac{11\,708,6}{70}=167,3; \sigma=\sqrt{167,30}=12,93.
Tabla
| Intervalo | Frecuencia f_i | Marca de clase x_i | \left|x_i-\bar{x}\right|^2 | \left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i |
|---|---|---|---|---|
| [30,40) | 10 | 35 | 446,90 | 4 469 |
| [40,50) | 14 | 45 | 124,10 | 1 737,4 |
| [50,60) | 15 | 55 | 1,30 | 19,5 |
| [60,70) | 20 | 65 | 78,50 | 1 570 |
| [70,80) | 11 | 75 | 355,70 | 3 912,7 |
| Total | 70 | 11 708,6 |
Fórmulas y ecuaciones
Desviación media: Dm=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|f_i}{n}
Varianza: \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}
Desviación típica: \sigma=\sqrt{\sigma^2}
Dm=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|f_i}{n}
\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}
\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-\bar{x}\right|^2f_i}{n}}
Glosario (4)
- dispersión
- Grado de separación de los datos con respecto a la media.
- varianza
- Medida que calcula el promedio de los cuadrados de las diferencias respecto de la media.
- desviación típica
- Raíz cuadrada de la varianza; expresa la separación de los datos en las mismas unidades de la variable.
- frecuencia
- Número de veces que se repite un valor o intervalo.
Preguntas para practicar
¿Por qué una desviación típica pequeña indica mayor concentración de los datos?
¿Qué ocurre con la varianza si a todos los datos se les suma el mismo número?
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la desviación media?
¿Cuál es la diferencia entre varianza y desviación típica?
¿Para qué sirven las medidas de dispersión?
- • Calcular la media aritmética
- • Interpretar tablas de frecuencias
- • Operar con potencias y raíces cuadradas
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1879 caracteres
Desviación media
Para determinar la desviación media, utilizamos la fórmula:
n
yi w= tr = 10,99.
Interpretación: cada valor de la variable difiere de la media aritmética en un promedio de 10,99.
Varianza y desviación típica o estándar
q | Costo de consumo de agua potable
—2 —2 intervalo Fi x, |x, i x |x, - x| f [30 - 40) 10 35 446,90 4469 [40 - 50) a 14 45 124,10 17374 [50 - 60) 15 55 1,30 19,5 (60-70) 20 65 78,50 1570 [70 - 80) 1 75 355,70 3912,7 Total 70 11 708,6 Archivo Editorial Para determinar la varianza, aplicamos la fórmula: un —2 A 11708,6 0? = 22 167,3.
n Para determinar la desviación típica, extraemos la raíz cuadrada de la varianza:
Las medidas de dispersión sirven para determinar qué tan dispersos están los datos con respecto a la media aritmética.
Propiedades de la varianza y la desviación típica
La varianza y la desviación típica siempre son un valor positivo o cero para el caso de puntuaciones iguales.
Sia todos los valores de la variable se les suma un número, la varianza y la desviación típica no variarán.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número y la desviación típica queda multiplicada por dicho número,
Cuanta más pequeña sea la desviación típica, mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
& Recuerda que...
La desviación media se calcula así:
YA (Di EE n
La varianza se determina así:
n 2 aa f 2 = C= n
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
83 Interdisciplinariedad
Matematica
y Estudios Sociales Las medidas de dispersión son utilizadas en ciencias sociales para describir los datos de una población, para comparar muestras y establecer conclusiones.
Indaga y escribe un ejemplo en el que se utilicen las medidas de dispersión en las ciencias sociales.
Shutterstock, 663832300.
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