Medidas de posición y distribución de datos

Para datos agrupados se usa Q_k=L+\left(\frac{P-F_a}{f}\right)A, donde L es el límite inferior del intervalo, P la posición buscada, F_a la frecuencia acumulada anterior, f la frecuencia del intervalo y A la amplitud.

Las frecuencias acumuladas son 25,35,75,90,100.

a) El segundo cuartil ocupa la posición \frac{2(100)}{4}=50. Está en el intervalo [90,95). Entonces: Q_2=90+\left(\frac{50-35}{40}\right)5=91,875

b) El percentil 50 ocupa la posición \frac{50(100)}{100}=50, por lo tanto: P_{50}=91,875 Interpretación: aproximadamente el 50\% de las personas tiene un coeficiente intelectual menor o igual que 91,875.

c) El tercer cuartil deja por encima al 25\% de los datos. Por tanto, tienen un coeficiente intelectual sobre Q_3 aproximadamente 25\% de 100, es decir, 25 personas.

d) El percentil 25 ocupa la posición 25. Se encuentra al final del primer intervalo, por lo que: P_{25}=Q_1=80+\left(\frac{25-0}{25}\right)5=85

e) La mediana es el valor que divide los datos ordenados en dos grupos iguales. Corresponde al segundo cuartil y al percentil 50.

a) Verdadero. Para hallar cuartiles se deben ordenar los datos.

b) Verdadero. Cada cuartil representa aproximadamente el 25\% de los datos.

c) Falso. Un cuartil es una medida de posición; la dispersión se analiza con el rango, la varianza u otras medidas.

d) Falso. Un cuartil no representa por sí mismo la dispersión de los datos.

La tabla tiene una inconsistencia: el enunciado indica 50 personas, pero las frecuencias suman 51. Se utiliza el total de la tabla, n=51.

Frecuencias acumuladas: 6,13,26,41,49,51.

Q_1: P=\frac{51}{4}=12,75 Está en [7,11): Q_1=7+\left(\frac{12,75-6}{7}\right)4\approx10,86

Q_2: P=\frac{2(51)}{4}=25,5 Está en [11,15): Q_2=11+\left(\frac{25,5-13}{13}\right)4\approx14,85

Q_3: P=\frac{3(51)}{4}=38,25 Está en [15,19): Q_3=15+\left(\frac{38,25-26}{15}\right)4\approx18,27

Para los hombres, el mínimo es 1,60\ \text{m} y el máximo 1,80\ \text{m}: R_h=1,80-1,60=0,20\ \text{m} La amplitud exacta para cinco intervalos es 0,20\div5=0,04\ \text{m}.

Para las mujeres, el mínimo es 1,52\ \text{m} y el máximo 1,70\ \text{m}: R_m=1,70-1,52=0,18\ \text{m} La amplitud exacta para cinco intervalos es 0,18\div5=0,036\ \text{m}.

Datos ordenados de los hombres: 1,60;1,63;1,65;1,65;1,67;1,68;1,68;1,69;1,70;1,71;1,72;1,72;1,72;1,73;1,73;1,74;1,74;1,75;1,75;1,75;1,76;1,76;1,78;1,80;1,80.

Datos ordenados de las mujeres: 1,52;1,54;1,55;1,56;1,56;1,56;1,56;1,58;1,58;1,59;1,60;1,60;1,62;1,62;1,62;1,63;1,64;1,64;1,64;1,65;1,65;1,68;1,68;1,68;1,70.

Usando los intervalos exactos, las tablas de frecuencias son:

Hombres: [1,60;1,64):2, [1,64;1,68):3, [1,68;1,72):5, [1,72;1,76):10, [1,76;1,80]:5.

Mujeres: [1,52;1,556):3, [1,556;1,592):7, [1,592;1,628):5, [1,628;1,664):6, [1,664;1,700]:4.

Para hombres, Q_3 ocupa la posición 18,75, en el cuarto intervalo: Q_{3h}=1,72+\left(\frac{18,75-10}{10}\right)0,04=1,755\ \text{m}

Para mujeres, Q_3 ocupa la posición 18,75, en el cuarto intervalo: Q_{3m}=1,628+\left(\frac{18,75-15}{6}\right)0,036\approx1,6505\ \text{m}

Esta actividad requiere consultar los resultados oficiales del INEVAL correspondientes al colegio y al último año escolar. Después de obtener los datos, se deben ordenar, elaborar la tabla de frecuencias y calcular: Q_2=D_5=P_{50} Los tres valores representan la mediana, es decir, el punto que deja aproximadamente al 50\% de los datos por debajo y al otro 50\% por encima.