Calcula los tres cuartiles con los datos de la tabla de edades y frecuencias.

Q_1≈16,18, Q_2≈27,78, Q_3=50

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Problemas propuestos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$A=6x^2+x-2$ unidades cuadradas.
Área: $30\ \text{m}^2$ ; perímetro: $10\sqrt{5}\ \text{m}$ .
$303,67$ segundos aproximadamente.
$R=80$ .
$48\sqrt{2}\ \text{m}\approx67,88\ \text{m}$ .
Media: $84,07$ ; desviación media: $53,60$ .
$Q_1\approx16,18$ , $Q_2\approx27,78$ , $Q_3=50$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 41

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los problemas

Ejercicio 1

Área del rombo

El área de un rombo se calcula con la fórmula:

$A=\frac{D\cdot d}{2}$

Las diagonales son $D=3x+2$ y $d=4x-2$ . Por tanto:

$A=\frac{(3x+2)(4x-2)}{2}$

Desarrollando el producto:

$A=\frac{12x^2+2x-4}{2}=6x^2+x-2$

El área del rombo es $6x^2+x-2$ unidades cuadradas.

Ejercicio 2

Área y perímetro del jardín

Simplificamos las raíces:

$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$

$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$

Área:

$A=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\cdot5=30\ \text{m}^2$

Perímetro:

$P=2(3\sqrt{5}+2\sqrt{5})=10\sqrt{5}\ \text{m}$

Ejercicio 3

Tiempo que tarda la luz

La distancia entre Mercurio y la Tierra se obtiene restando sus distancias al Sol:

$d=1,49\times10^8-5,79\times10^7$

$d=1,49\times10^8-0,579\times10^8=0,911\times10^8=9,11\times10^7\ \text{km}$

Usamos $t=\frac{d}{v}$ :

$t=\frac{9,11\times10^7}{3\times10^5}=\frac{9,11}{3}\times10^2\approx303,67\ \text{s}$

Ejercicio 4

Rango

El rango es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior:

$R=90-10=80$

Ejercicio 5

Longitud del cerramiento

Se suman todos los lados de la figura:

$P=3\sqrt{2}+\sqrt{2}+12\sqrt{2}+2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{2}+15\sqrt{2}+5\sqrt{2}$

$P=(3+1+12+2+6+4+15+5)\sqrt{2}=48\sqrt{2}\ \text{m}$

Se necesitan $48\sqrt{2}$ metros de alambre, aproximadamente $67,88$ metros.

Ejercicio 6

Media y desviación media

Para datos agrupados se utiliza la marca de clase, que es el punto medio de cada intervalo.

Intervalo	Marca de clase $x_i$	Frecuencia $f_i$	$f_i x_i$
$[0,30)$	15	12	180
$[30,60)$	45	17	765
$[60,90)$	75	20	1500
$[90,120)$	105	22	2310
$[150,180)$	165	15	2475
Total		86	7230

Media aritmética:

$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{7230}{86}\approx84,07$

La desviación media se calcula mediante:

$DM=\frac{\sum f_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{N}$

Sustituyendo los valores:

$DM=\frac{12|15-84,07|+17|45-84,07|+20|75-84,07|+22|105-84,07|+15|165-84,07|}{86}$

$DM\approx53,60$

Ejercicio 7

Cuartiles

La frecuencia total es:

$N=18+17+18+5+4+3+6+9=80$

Las posiciones de los cuartiles son:

$Q_1:\frac{N}{4}=20,\qquad Q_2:\frac{N}{2}=40,\qquad Q_3:\frac{3N}{4}=60$

Las frecuencias acumuladas son $18,35,53,58,62,65,71,80$ .

Para datos agrupados se aplica:

$Q_k=L+\frac{\text{posición}-F_a}{f}\cdot c$

Para $Q_1$ , la posición 20 está en el intervalo $[15,25)$ :

$Q_1=15+\frac{20-18}{17}\cdot10\approx16,18$

Para $Q_2$ , la posición 40 está en el intervalo $[25,35)$ :

$Q_2=25+\frac{40-35}{18}\cdot10\approx27,78$

Para $Q_3$ , la posición 60 está en el intervalo $[45,55)$ :

$Q_3=45+\frac{60-58}{4}\cdot10=50$

Contenido de la página

Fórmulas principales

Área del rombo: $A=\frac{D\cdot d}{2}$ .
Área del rectángulo: $A=l\cdot a$ .
Perímetro del rectángulo: $P=2(l+a)$ .
Tiempo: $t=\frac{d}{v}$ .
Rango: $R=\text{máximo}-\text{mínimo}$ .
Media de datos agrupados: $\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{N}$ .
Desviación media: $DM=\frac{\sum f_i|x_i-\bar{x}|}{N}$ .
Cuartil para datos agrupados: $Q_k=L+\frac{\text{posición}-F_a}{f}\cdot c$ .

La marca de clase se obtiene promediando los extremos de cada intervalo. Para encontrar un cuartil, primero se calcula su posición, luego se identifica el intervalo correspondiente mediante la frecuencia acumulada y finalmente se aplica la fórmula.

Ejemplos resueltos

Un rectángulo tiene lados $3\sqrt{5}$ m y $2\sqrt{5}$ m. Calcula su área.

$A=(3\sqrt{5})(2\sqrt{5})=6\cdot5=30\ \text{m}^2$ .

Calcula el rango de un conjunto cuyo valor menor es 10 y cuyo valor mayor es 90.

$R=90-10=80$ .

Tablas (2)

| Intervalo | Frecuencia $|\n|---|---:|\n|$ $[0,30)$ | 12 $|\n|$ $[30,60)$ | 17 $|\n|$ $[60,90)$ | 20 $|\n|$ $[90,120)$ | 22 $|\n|$ $[150,180)$ | 15 $|\n|$ Total | 86 |

| Clase | Límite inferior | Límite superior | Frecuencia absoluta $|\n|---:|---:|---:|---:|\n|$ 1 | 5 | 15 | 18 $|\n|$ 2 | 15 | 25 | 17 $|\n|$ 3 | 25 | 35 | 18 $|\n|$ 4 | 35 | 45 | 5 $|\n|$ 5 | 45 | 55 | 4 $|\n|$ 6 | 55 | 65 | 3 $|\n|$ 7 | 65 | 75 | 6 $|\n|$ 8 | 75 | 85 | 9 |

Fórmulas y ecuaciones

$A=\frac{D\cdot d}{2}$

$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{N}$

$DM=\frac{\sum f_i|x_i-\bar{x}|}{N}$

$Q_k=L+\frac{\text{posición}-F_a}{f}\cdot c$

A= $\frac{D\cdot d}{2}$

P=2(l+a)

t= $\frac{d}{v}$

$\bar{x}$ = $\frac{\sum f_i x_i}{N}$

DM= $\frac{\sum f_i|x_i-\bar{x}|}{N}$

$Q_k=L+@@MATH_0@@\cdot$ c

Glosario (5)

Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Rango: Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.
Marca de clase: Punto medio de un intervalo de datos agrupados.
Frecuencia acumulada: Suma progresiva de las frecuencias hasta una determinada clase.
Cuartil: Valor que divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes.

Temas y conceptos clave

Área del romboÁrea y perímetro del rectánguloDistancia, velocidad y tiempoRango estadísticoPerímetro de polígonos con radicalesMedia y desviación mediaCuartiles de datos agrupadosÁrea del romboPerímetroSimplificación de radicalesNotación científicaMarca de claseMedia aritméticaDesviación mediaFrecuencia acumuladaCuartiles

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Figuras de la página (1)

Figura poligonal anaranjada cuyos lados están expresados como múltiplos de $\sqrt{2}$. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de un rombo con sus diagonales?

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¿Cómo se obtiene la media de datos agrupados?

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¿Cómo se calculan los cuartiles en una tabla de frecuencias?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Simplificación de raíces cuadradas
• Uso de fórmulas geométricas
• Operaciones con notación científica
• Lectura de tablas de frecuencias

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Interpretación de medidas estadísticas y representación gráfica de datos agrupados

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Problemas propuestos

Un rombo mide de diagonal mayor 3x + 2 y de diagonal menor 4x — 2. ¿Cuál es el área de este rombo?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder. $ EZ

4x-2

Un jardín rectangular tiene 4/45 m de largo y

4/20 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el jardín y cuál es su perímetro?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

La distancia desde el Sol a Mercurio es de 5,79 x 10’ km y a la Tierra es de 1,49 x 10% km. ¿En cuántos segundos llega un haz de luz de Mercurio a la Tierra, si la velocidad de la luz es de 3 x 10* km por segundo?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

¿Cuál es el rango de un estudio estadístico cuyos intervalos van desde [10 — 30) hasta [70 — 90)?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. e) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Analiza y resuelve, Se desea construir el cerra- miento de una escuela con la forma que se mues- tra en la figura. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan?

1512

Responde. En un estudio estadístico sobre el tiempo que un grupo de estudiantes dedica a ver televisión diariamente, se ordenó la información con datos agrupados en la siguiente tabla:

Tiempo de ver tele |

Intervalos | [0 - 30) 12 [30 - 60) 17 [60 — 90) 20 [90 - 120) 22 [150 - 180) 15 Total 86

a) Determina la media aritmética de los datos.

b) Encuentra la desviación media.

La tabla muestra un resumen de los datos ob- tenidos en una encuesta sobre la calidad de un producto para niños. Los datos fueron agru- pados por edades y se contaron solo aque- llas personas que consideran que el producto tiene buena calidad.

Límite Límite | Frecuencia

superior || absoluta 1 5 15 18 2 15 25 17 El 25 35 18 4 35 45 5 5 45 55 4 6 55 65 3 7 65 75 6 8 75 85 : 9

a) Calcula los tres cuartiles con los datos de la tabla.

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